Реинвестирование по простым процентным ставкам. Дисконтирование по сложным процентным ставкам

В практике при инвестировании средств в краткосрочные депозиты иногда прибегают к неоднократному последовательному повторению наращения по простым процентам в пределах заданного общего срока, т.е. к реинвестированию (rollover) полученных на каждом этапе наращения средств. Наращенная сумма для всего срока составит в этом случае

S = (1 + n ₁ i ₁)(l + n ₂ i ₂) (1.3)

где i_t — ставки, по которым производится реинвестирование.

Если периоды начисления и ставки не изменяются во времени, то вместо формулы (1.3) имеем:

S = P (1 + ni) ^m, (1.4)

где m — количество реинвестиций.

В финансовой практике часто сталкиваются с задачей, обратной наращению процентов: по заданной сумме S, которую следует уплатить через некоторое время n, необходимо определить сумму полученной ссуды Р. Такая ситуация может возникнуть, например, при разработке условий контракта. Расчет Р по S необходим и тогда, когда проценты с суммы S удерживаются вперед, т.е. непосредственно при выдаче ссуды. В этих случаях говорят, что сумма S дисконтируется или учитывается, сам процесс начисления процентов и их удержание называют учетом, а удержанные проценты — дисконтом (discount).

D = S - P = S (1 - vⁿ); D = S - P = S (1 - v^mn).

Термин "дисконтирование" употребляется и в более широком смысле — как средство определения любой стоимостной величины, относящейся к будущему, на некоторый, более ранний момент времени.

Применим математическое дисконтирование по сложной ставке процента. На основе (2.1) получим:

, (2.10)

vⁿ = (1 + i) ^-n = 1/ qⁿ. (2.11)

Величину vⁿ называют дисконтным множителем (discount factor). Значения множителя легко табулировать (см. Приложение, табл. 3).

Для случаев, когда проценты начисляются т раз в году, получим:

, (2.12)

v^mn = (1 + j / m) ^-mn. (2.13)

Величину Р, полученную дисконтированием S, называют современной величиной (present value), или современной стоимостью S. Современная стоимость может быть рассчитана на любой момент до выплаты суммы S.

11. Рента: Наращенная сумма ренты. Годовая рента (k=1) с начислением процентов m-раз в год. k – срочная рента с начислением процентов 1 раз в год (m = 1).

Поток платежей, все члены которого положительные величины, а временные интервалы между платежами одинаковы, называют финансовой рентой, или просто рентой. Например, рентой являются последовательность получения процентов по облигации, платежи по потребительскому кредиту, выплаты в рассрочку страховых премий и т. д.

Рента характеризуется следующими параметрами: член ренты (rent) — размер отдельного платежа, период ренты (rent period, payment period) — временной интервал между двумя последовательными платежами, срок ренты (term) — время от начала первого периода ренты до конца последнего периода, процентная ставка.

В практике применяют разные по своим условиям ренты. В основу их классификации могут быть положены различные признаки. Рассмотрим некоторые из таких классификаций.

По количеству выплат членов ренты на протяжении года ренты делятся на годовые (выплата раз в году) и р-срочные (р — количество выплат в году). В анализе производственных инвестиционных процессов иногда применяют ренты с периодами, превышающими год. Перечисленные виды рент называют дискретными. В финансовой практике встречаются и с такими последовательностями платежей, которые производятся столь часто, что их практически можно рассматривать как непрерывные.

По количеству начислений процентов на протяжении года различают: ренты с ежегодным начислением, с начислением т раз в году, с непрерывным начислением.

По величине своих членов ренты делятся на постоянные (с одинаковыми платежами) и переменные.

По вероятности выплат ренты делятся на верные (annuity certain) и условные (contingent annuity).

По количеству членов различают ренты с конечным числом членов, т. е. ограниченные по срокам ренты (их срок заранее оговорен), и бесконечные, или вечные, ренты (perpetuity).

По соотношению начала срока ренты и какого-либо момента времени, упреждающего начало ренты (например, начало действия контракта или дата его заключения), ренты делятся на немедленные и отложенные, или отсроченные (deffered annuity).

Очень важным является различие рент по моменту выплат платежей в пределах периода. Если платежи осуществляются в конце периодов, то соответствующие ренты называют обыкновенными, или постнумерандо (ordinary annuity), если же платежи производятся в начале периодов, то их называют пренумерандо (annuity due).

Наращенная сумма (amount of cash flows) — сумма всех членов потока платежей с начисленными на них к концу срока процентами. Под современной стоимостью потока платежей (present value of cash flows) понимают сумму всех его членов, дисконтированных на начало срока ренты или некоторый упреждающий момент времени.

Рассмотрим общую постановку задачи. Допустим, имеется ряд платежей R_t, выплачиваемых спустя время п_t после некоторого начального момента времени, общий срок выплат я лет. Необходимо определить наращенную на конец срока сумму потока платежей. Если проценты начисляются раз в году по сложной ставке i, то, обозначив искомую величину через S,получим по определению:

Современную стоимость такого потока находим прямым счетом — как сумму дисконтированных платежей. Обозначив эту величину как А,получим:

Годовая рента, начисление процентов т раз в году. Пусть, как и выше, анализируется годовая рента постнумерандо. Однако проценты начисляются т раз в году. Члены ренты с начисленными к концу срока процентами образуют ряд (перепишем его в обратном порядке):

R, R (1 + j/m) ^m, R (1 + j/m)^{2 m} ,..., R (l + j/m)^{(n- 1) m} ,

где j — номинальная ставка процентов.

Нетрудно убедиться, что и в этом случае мы имеем дело с возрастающей геометрической прогрессией. Первый член прогрессии равен R,знаменатель — (1 + j/m) ^m. Сумма членов этой прогрессии равна

(4.7)

Рента p -срочная (т = 1). Пусть рента выплачивается р раз в году равными суммами, процент начисляется один раз в конце года. Если годовая сумма платежей равна R,то каждый раз выплачивается R/p. Общее число членов ренты равно пр. Ряд членов ренты с начисленными процентами представляет собой геометрическую прогрессию. Первый член ее равен R/p,знаменатель — (1 + i) ^{1 / p}. Сумма членов этой прогрессии:

(4.8)

12. Формула современной стоимости годовой ренты с начислением процентов m раз в году. Современная стоимость k- срочной годовой ренты (m = 1). Современная стоимость k- срочной ренты при m=k. Пренумерандо формулы.

Годовая рента, начисление процентов m раз в году. Не будем выводить формулу для этого случая, а заменим в формуле (4.14) дисконтный множитель (1 + i)^- n на эквивалентную величину (1 + j / m)^{- mn}, соответственно i заменим на (1 + j/m) ^m - 1, после чего имеем:

(4.16)

Рента p -срочная (m = 1). Если платежи производятся не один, a p раз в году, то коэффициенты приведения находятся так же, как и в случае годовой ренты. Только теперь размер платежа равен R / p, а число членов np. Сумма дисконтированных платежей равна:

(4.17)

Рента p -срочная (p = m). Число членов ренты здесь равно числу начислений процентов; величина члена ренты составляет R / m. В итоге

(4.18)

Под рентой пренумерандо понимается рента с платежами в начале периодов. Различие между рентами постнумерандо и пренумерандо заключается в числе периодов начисления процентов

Отсюда наращенная сумма ренты пренумерандо, обозначим ее как больше в (1 + i) раз аналогичной ренты постнумерандо.

Таким образом,

Аналогичным путем получим для годовой ренты с начислением процентов m раз в году:

Для p -срочной ренты получим:

Точно такая же зависимость наблюдается и между современными стоимостями рент постнумерандо и пренумерандо:

и т. д.

13. Зависимость между наращенной стоимостью ренты и ее современной стоимостью. Определение характеристик финансовых рент. Современная стоимость бессрочной ренты (n→ ∞).

Современная стоимость потока платежей представляет собой его обобщающую оценку, приуроченную к некоторому предшествующему моменту времени (у немедленной ренты — к началу срока). Наращенная сумма — это тоже не что иное, как представление всех членов потока в виде одного числа, однако приурочена эта оценка к концу срока. Нетрудно обнаружить, что между величинами А и S существует функциональная зависимость. В самом деле, дисконтировав сумму S спомощью дисконтного множителя vⁿ, получим:

Соответственно, наращивая сумму А по ставке i, получим:

A (1 + i) ⁿ = S.

Под вечной рентой понимается ряд платежей, количество которых не ограничено — теоретически она выплачивается в течение бесконечного числа лет.

Современная величина вечной ренты (4.44)

Таким образом, современная стоимость вечной ренты зависит только от размера члена ренты и процентной ставки.

14. Отложенная рента. Переменные потоки платежей: Ренты с постоянным абсолютным изменением элементов. Ренты с постоянным темпом изменения элементов.

Отложенные ренты. Началовыплат у отложенной (отсроченной) ренты сдвинуто вперед относительно некоторого момента времени. Очевидно, что сдвиг во времени никак не отражается на величине наращенной суммы. Иное дело современная стоимость ренты. Пусть рента выплачивается спустя t лет после некоторого начального момента времени. Современная стоимость ренты на начало выплат (современная стоимость немедленной ренты) равна A. Современная стоимость на начало периода отсрочки, равного t лет, очевидно, равна дисконтированной величине современной стоимости немедленной ренты. Для годовой ренты:

_tA = Av^t = Ra_{n ; i}v^t, (4.43)

где _tA — современная стоимость отложенной ренты.