Общий случай движения твердого тела

В отличие от ранее рассмотренных движений предполагается, что тело может геометрически свободно двигаться в пространстве. Термин «общий случай движения» дан в связи с тем, что все иные типы движения твердого тела можно рассматривать как его частные случаи и все формулы как кинематики, так и динамики общего случая движения справедливы для любых типов движения твердого тела. Можно привести следующие примеры общего случая движения твердого тела:

- полеты самолета, ракеты, снаряда, спутника относительноЗемли;

-качка корабля в воде относительно берегов;

-галопирование подрессоренного корпуса автомобиля, самоходного орудия, танка и др. относительно грунта при езде по неровной дороге;

-вибрации вращающегося ротора, установленного в упругих опорах, относительно корпуса;

-движение груза, подвешенного на упругом тросе, при движении стрелы Итак, движение свободного твердого тела происходит так, как если бы оно двигалось поступательно со скоростью , равной скорости точки, принятой за полюс, и вращалось с мгновенной угловой скоростью вокруг этого полюса как вокруг неподвижной точки (рис.4.17). Свободное тело имеет шесть степеней свободы относительно неподвижной системы отсчета и связанной с ней неподвижной системы координат OXYZ. Подвижнуюсистему координат свяжем с произвольной точкой Р, называемой в дальнейшем полюсом, последняя перемещается поступательно и оси которой остаются параллельными осям неподвижной системы OXYZ. Положение системы относительно OXYZ может быть задано, например, с помощью декартовых координат полюса Р. Относительно подвижной системы тело совершает сферическое движение (в этой системе точка Р неподвижна). Пространственная ориентация осей системы Рxyz может быть задана, например, тремя углами Эйлера (рис.4.17).. Таким образом, совокупность уравнений (4.42)

Рис.4.17

(4.42)

определяющих зависимость обобщенных координат тела от времени, называют законом свободного движения тела, или уравнениями его движения.

Три декартовы координаты полюса Р и три угла Эйлера, являются обобщенными координатами тела в системе OXYZ.

Приведенный вариант обобщенных координат не является единственным. Вместо декартовых координат точки Р можно ввести, например, вместо углов Эйлера ¾иную систему углов, например, корабельные углы Крылова или самолетные углы вращения.

Для радиус-вектора произвольной точки М тела относительно неподвижной точки О справедливазависимость (рис.4.17)

(4.42)

где ¾ радиус-вектор полюса P, а ¾ постоянный по модулю радиус-вектор точки M относительно полюса P. Продифференцировав по времени уравнение (4.42), получим формулу, определяющую скорость произвольной точки M для любого момента времени в общем случае движения твердого тела,

(4.43)

Продифференцировав по времени уравнение (4.43), получим

,

Так как вектор жестко связан с твердым телом и его модуль постоянен, слагаемое может быть вычислено по формуле Ривальса (4.37): = .

Тогда , (4.44)

где и - соответственно вращательное и осестремительное ускорения точки М приее движении вокруг полюса Р вследствие сферического движения тела относительно системы координат . Величины и направления этих векторов были определены ранее:

- (см. 4.39), и - (см. 4.40).

При известном законе движения тела (см.4.42) формула (4.44) позволяет рассчитать ускорение произвольной точки М тела для любого момента времени на заданном интервале.