Скорость и ускорение точек тела. Формула Ривальса

Скорость любой точки тела в случае его сферического движения можно найти из формулы Эйлера: .

Модуль скорости точки тела , где h – кратчайшее расстояние от рассматриваемой точки до мгновенной оси вращения (рис.4.15). Таким образом,

Рис. 4.15 при сферическом движении твердого

тела вокруг неподвижной точки, как и при его вращении вокруг неподвижной оси, скорости точек тела в данный момент времени пропорциональны расстояниям h.

Вектор скорости точки тела перпендикулярен плоскости, в которой лежат векторы и (заштрихованная плоскость на рис.4.15), т.е. перпендикулярен h и направлен по касательной к мгновенной траектории точки в сторону угловой скорости тела, вращающегося вокруг мгновенной оси.

Если в данный момент времени скорость точки тела , то ее ускорение .

С учетом векторной формулы Эйлера для определения скорости точки можно записать,

.

Поскольку , то

. (4.37)

Полученное выражение называют формулой Ривальса. Ускорение есть геометрическая сумма двух составляющих: – вращательное ускорение; – осестремительное ускорение. Таким образом,

. (4.38)

Вектор вращательного ускорения

Рис.4.16 направлен перпендикулярно к плоско

сти, в которой лежат векторы и (заштрихованная плоскость на рис.4.16), так,что с конца вектора поворот от к кажется против хода часовой стрелки. Модуль вектора равен

, (4.39)

где h ₁ – кратчайшее расстояние от точки до линии действия вектора углового ускорения в данный момент времени (рис.4.16).

Вектор осестремительного ускорения (рис.4.16) перпендикулярен плоскости, в которой лежат векторы и , и направлен от точки М по перпендикуляру, проведенному из нее на мгновенную ось вращения тела. Модуль вектора , учитывая (4.32) и то, что , равен

. (4.40

Ускорение точки тела, вращающегося вокруг неподвижной точки, равно геометрической сумме векторов вращательного и осестремительного ускорений.

Модуль ускорения

. (4.41)

Следует отметить, что формула Ривальса (4.37) аналогична формуле ускорения точки тела, вращающегося вокруг неподвижной оси. Но там векторы и перпендикулярны ( ) в отличие от формулы Ривальса.