Разработка программной (численной) модели с распределёнными параметрами

Постановка задачи. Найти распределение температуры по сечению нагреваемого слитка (отливки). Остальные условия соответствуют рассмотренным ранее в разделе 2.4 при построении модели с сосредоточенными параметрами.

Построение физической модели. В физической модели, положенной в основу в разделе 2.4, предполагалось, что теплопроводность материала достаточно велика, чтобы за время процесса непрерывно выравнивать температуру по сечению слитка.

Рассматривая теперь общий случай, надо учесть, что температура в каждой точке слитка зависит не только от поступления тепла из окружающей среды с поверхности по закону Ньютона, но также от теплообмена между отдельными участками неравномерно нагретого тела.

Формулировка математической модели. Описываемый процесс подчиняется дифференциальному уравнению переноса тепла в частных производных (для простоты рассмотрим двумерный случай в декартовых координатах)

, (18)

где с_* - объёмная теплоёмкость, l - теплопроводность металла. Поверхностный теплообмен п. закону Ньютона составляет граничное условие задачи

(19)

где подстрочным индексом “г” отмечены температура и градиент температуры по нормали к границе тела с окружающей средой, имеющей температуру t_п(t_п > t_г). Начальное условие пусть имеет вид

t(x,z,0) = t₀ (20)

т.е. температура по сечению слитка при t = 0 распределена равномерно.

Выбор метода и разработка алгоритма решения задачи.

Численное решение сформулированной задачи целесообразно осуществить методом конечных разностей, вводя дискретные переменные x,z,t и t, т.е. описывая сечение слитка координатами пространственной сетки Dx ´ Dz (см. рис 5): х = iDx, z = jDz, t = kDt, откуда после замены производных конечными разностями:

:

:

:...

Рис. 5 Схема сеточного описания

получим в результате подстановки в (20) выражение для расчёта температуры в i,j^м узле сетки в (k+1)^й момент времени по известным для k^го момента температурам окружающих узлов сетки:

(21)

где значения l^k_i,j и c^k_i,j принимаются с учётом известных зависимостей с(t) и l(t) в соответствии с температурой центрального узла сетки t^k_i,j в k^й момент времени. Уравнение такого типа решается в явном виде относительно t^k_i,j, что позволяет, последовательно обходя все узлы сетки по столбцам и строкам сеточного поля, определять распределение температур через время Dt, 2Dt,... kDt от заданного момента времени при t = 0.

На границах тела, где уравнение (21) не может быть использовано, так как граничные точки не окружены со всех сторон узлами сетки, используется разностная форма граничного условия (19):

где t^k_г±1 - температура соседней с граничной внутренней точки слитка; a^k_i,j принимается с учётом зависимости a(t,t) соответственно с температурой граничной точки t^k_г в k^й момент времени.

Описанное выше приближение модели к реальному процессу по геометрии изделия, его действительной зависимости теплофизических свойств от температуры, а также учёт изменений условий теплообмена во времени позволяют подойти к построению имитационной модели, воспроизводящей протекание реального процесса во времени в различных точках отливки (слитка). При необходимости в подобного рода моделях могут быть приняты в расчёт особенности конкретных технологических процессов (неравномерности нагрева в соответствии с конструкцией нагревательных элементов и конфигурации изделия, изменение температуры в процессе посадки слитка (массивной отливки) и в процессе последующего нагрева и т.д.).

Проверка адекватности модели. Для программных модулей проверка адекватности является этапом более сложным, нежели для аналитических моделей, так как при этом метод линеаризации может быть использован лишь ограниченно для тех стадий процесса, которые лишь приближённо могут описываться полученными для упрощённых условий аналитическими моделями.

В общем случае проверка адекватности для программных моделей состоит в сопоставлении расчётных у_р и экспериментальных у_э значений (см. рис. 6) и оценке величин коэффициентов парной корреляции r_УрУэ по формуле (14) и коэффициента регрессии а = tg j:

,

где у_р. у_э - пары соответствующих значений расчётных и экспериментальных данных.