Разработка аналитической (интегральной) модели для системы с сосредоточенными параметрами

Рассмотрим подробно этапы построения детерминированной модели для наиболее простого случая, допускающего точное аналитическое решение (рис 5). Приёмы, рассмотренные ниже, могут быть использованы (с известной модификацией, разумеется) и для более сложных систем.

Постановка задачи. Необходимо разработать математическую модель процесса нагрева слитка в термической печи, не прибегая к вычислительной технике и не предъявляя высоких требований к её точности. Заданы размеры слитка, его начальная средняя температура t₀, температура печи t_п (не изменяется при нагреве).

Построение физической модели. В силу требуемой простоты модели будем рассматривать систему как объект с сосредоточенными параметрами, (абстрагируясь от перепадов по толщине слитка и принимая слиток как материальную точку с постоянной массой М, плотностью r, объёмом V и поверхностью F). Примем, что теплообмен происходит строго по закону Ньютона (пренебрегая лучистым теплообменом). Начальная температура слитка t₀ меньше температуры в печи t_g; с течением времени этот перепад температуры уменьшается, так, что нагрев слитка асимптотически замедляется. Столь подробное изложение условий частной задачи нагрева слитка представляет интерес только потому, что аналогично ставятся задачи моделирования многих металлургических процессов (см. табл. 2).

Формулировка математической модели. Основным соотношением модели является уравнение баланса энергии: изменение внутренней энергии слитка dQ_c равно количеству поглощённого от печи тепла dQ_п: dQ_c = dQ_п; выражая dQ_c через изменение средней температуры в объёме слитка и записывая dQ_п в соответствии с законом Ньютона dQ_п = a(t_п - t)Fdt, получаем Vcrdt = a(t_п - t)Fdt, где с - удельная теплоёмкость металла, r - плотность металла, a - коэффициент теплоотдачи от печи к поверхности слитка площадью F. Полученное дифференциальное уравнение

(11)

хотя и не даёт явной зависимости t(t), но может рассматриваться в совокупности с начальными условиями t = t₀ при t = 0 как дифференциальная математическая модель однопараметрического процесса, выражающая скорость изменения единственного выходного параметра (температуры dt/dt) через определяющие её факторы. В частности, из (11) следует, что скорость нагрева имеет максимальную величину в начале процесса и убывает во времени в той степени, насколько повышается температура слитка t (при прочих постоянных величинах). Кроме того, из (11) очевидно, что скорость нагрева зависит от комплексного геометрического параметра F/V, который зависит не только от размеров, но и от конфигурации различных слитков. В теории теплопроводности установлено, что тело является “термически тонким”, (чтобы перепадом температур в нём можно было пренебречь), когда критерий Био Bi = aV/lF << 1 (l - теплопроводность металла). Это соотношение позволяет оценить пределы применимости полученной упрощённой модели. Подробный анализ можно было бы продолжить например, сопоставляя скорости нагрева для тел различного размера. (Вопрос для самостоятельной проработки: Тонкий или массивный слиток нагревается быстрее?). Это может дать полезную информацию, если модель не интегрируется простым способом. Обратившись к таблице 2, можно из приведенных примеров увидеть (см. графу 3), что самые разнообразные процессы описываются сходными по структуре уравнениями баланса энергии (нагрев слитка), массы (заливка металла). количества примеси (кристаллизация), поэтому во всех подобных случаях возможно использование аналогичных приёмов построения дифференциальных моделей и их анализа.

Выбор метода и разработка алгоритма решения задачи. Если допустимо принять, что параметры модели (a, F, V, c, r) не зависят от переменных процесса (температуры и времени), т.е. можно пренебречь влиянием нагрева и термическим расширением слитка, тогда уравнение (11) решается аналитически путём разделения переменных и почленного интегрирования левой и правой частей равенства.

Аналитическое решение задачи. Следуя вышеизложенному алгоритму, получим:

,

откуда после интегрирования с учётом начального условия следует выражение:

, (12)

которое является интегральной моделью процесса при наложенных ограничениях и упрощениях. Аналогичные интегральные модели различных процессов (см. табл. 2) различны по математической форме, однако обладают той общностью, что дают приближённое аналитическое описание кинетики процессов (при условии достаточного упрощения постановки задачи). Ценность этого результата в том, что он математически строг при существенной схематизации физической модели процесса. В силу этой особенности модель впоследствии послужит незаменимым эталоном, когда будет предпринята попытка приближённого (численного) решения задачи для физических условий, более точно отражающих реальные процессы. Кроме того, нередко даже простые модели хорошо описывают отдельные этапы сложных процессов.

Для решения контрольных задач требуется задать комплекс , величина которого известна с большой погрешностью, поскольку, например, значение с, приводимое в таблицах, даётся нередко с ошибкой ± 5...10 %, а величина a может быть только приближённо оценена с разбросом 40...60 %, так как зависит от окисленности поверхности, интенсивности конвекции в печи и т.д. Поэтому сопоставление этих расчётных данных с результатами контрольных экспериментов затруднительно и не даёт однозначных результатов, особенно, если в эксперименте не были зафиксированы, например, значения t_n и t₀ а измерение t произведено в различных точках слитка.

Проверка адекватности модели состоит в поиске ответа на принципиальный вопрос о том, соответствует ли натурным данным полученная экспоненциальная теоретическая зависимость (12), и совсем не сводится к подгонке значений F и a. Подобную задачу решают методом линеаризации опытных данных, который сводится к такому выбору координатных осей, чтобы обеспечить преобразование теоретического выражения в уравнение прямой линии. Для различных видов уравнений используются различные способы линеаризации (см. табл. 3). Приведенные примеры показывают, что нередко одно и то же уравнение может быть линеаризовано различными способами, однако получаемый при этом результат не будет однозначным. Например, для уравнения (6)(табл. 3) с известным показателем степени предпочтительнее не использовать логарифмирование. Применение логарифмических осей координат при относительно узких пределах изменений переменных легко даст искомую “линеаризацию”, поскольку сильно сжатый логарифмированием отрезок любой кривой представляется почти прямолинейным. Следует обратить внимание на то, чтобы линеаризующие координаты не содержали неизвестных или трудно измеряемых параметров уравнения. По этой причине следует отдать предпочтение 1^му способу линеаризации z=ktⁿ так как он позволяет обойтись без измерения n и даёт возможность определить n по известному углу наклона прямой линии.

Для уравнения (12) с экспоненциальной функцией надо пользоваться полулогарифмическими координатами y º ln (t_n - t) и x º t. Обратим внимание, на то что при по ординате надо откладывать значение ln (t_n - t), т.е. при организации контрольных опытов следует предусмотреть измерение величины t_n или непосредственно разности (t_n - t), например, дифференциальной термопарой. На рис. 4 представлены 3 возможные ситуации, возникающие при проверке адекватности модели.

Рис. 6 Проверка адекватности аналитической модели методом линеаризации.

Если экспериментальные точки отчётливо располагаются на прямой линии (рис. 3а), это свидетельствует о том, что реальная зависимость близка к той, которая задана уравнением интегральной модели, т.е. подтверждается адекватность натурным условиям. Параметрами уравнения прямой линии y = ax + b, легко определяемыми графически, являются свободный член b, равный значению у при х = 0, а также тангенс угла j наклона прямой к оси х (рис 3а). Эти параметры, определяемые по величине отрезков на графике с учётом принятого масштаба построения, дают возможность найти неизвестные характеристики модели, входящие в выражение для параметров a и b (см. табл. 3). Для уравнения (12) после линеаризации путём логарифмирования (см. уравнение (2) в табл. 3) можно получить

,

откуда определяются a и b:

(13)

Если исследуемое уравнение выдержало проверку на адекватность, тогда с помощью соотношений (13) можно определить, например, неизвестную величину коэффициента теплоотдачи и начальную температуру слитка

В случае, показанном на рис. 3в можно определённо говорить о неадекватности модели, поскольку экспериментальные точки не располагаются на прямой линии. В случае, представленном на рис. 3б результат анализа не совсем очевиден, поскольку в силу случайных возмущений и погрешностей измерений разброс опытных точек маскирует контуры гладкой зависимости у(х). Для однозначного ответа на вопрос об адекватности полученной детерминированной модели применительно к стохастическим переменным системы целесообразно воспользоваться процедурой корреляционного анализа, вычислив значение коэффициента линейной корреляции r между переменными у и х:

(14)

где x_i, y_i - пара соответствующих значений х и у в каждой i^й опытной точке; х^сз и у^сз - средние значения по выборкам. Адекватности модели соответствует статистически значимая линейная корреляция с уровнем значимости a (для металлургии a = 0,95), если r > r_кр (a, n), где критическое значение r_кр зависит от принятого уровня значимости a и количества опытных точек n.

В рассматриваемом примере о нагреве слитка полученные результаты (рис. 3в) свидетельствуют о неадекватности модели (12).

Корректировка модели. Учитывая, что при аналитическом решении задачи не было внесено каких-либо вычислительных погрешностей. необходимо в связи с неадекватностью модели (12) возвратиться на этап построения физической модели процесса для её корректировки. Если допущение о равномерном распределении температур обосновано оценкой величины Bi << 1 и не вызывает необходимости перехода к модели с распределёнными параметрами, тогда, видимо, надо уточнить модель. введя в неё температурную зависимость теплоёмкости с(t). поскольку масса металла Vr не изменяется при нагреве, а также оценить применимость закона Ньютона с постоянным значением коэффициента теплоотдачи a, так как с повышением температуры возрастает доля лучистого теплообмена, а нагрев в окислительной среде вызывает изменение с течением времени степени черноты поверхности в результате образования окисного слоя. Если ввести аппроксимирующие функции для описания эмпирических зависимостей c(t) и a(t, t), например, в виде с = с₀ (1 + c_it); a = a₀(1+b₁t+b₂t³), тогда исходное уравнение (11) примет сложный вид, исключающий аналитическое решение или дающий громоздкое расчётное выражение, неудобное для многократного практического использования (Мэрфи: “...длиннее полутора дюймов...”).