Методы решения многокритериальных задач

Существуют относительно формализованные методы перехода от много­компонентного критерия к единому критерию, позволяющие получить кор­ректную с математической точки зрения постановку задачи.

Самым простым из них является метод последовательной оптимизации. При его реализации вначале необходимо ранжировать критерии по их значи­мости. Пусть (3.5) представляет собой критерий, уже ранжированный в порядке значимости составляющих

где п - количество частных критериев эффективности.

После ранжирования решается однокритериальная задача поиска опти­мального значения самого значимого критерия

Затем задаются допустимые пределы изменения для этого частного критерия Δ у, и решается задача оптимизации второго частного критерия в полу­ченной области.

На следующем этапе задается допустимое отклонение для второго крите­рия и оптимизируется третий критерий в области решений, ограниченных уже двумя Δ у. Процесс продолжается до тех пор, пока не оптимизирован послед­ний, n-й критерий.

Отсутствие достаточно точных указаний к ранжированию частных кри­териев и определению пределов отклонения от оптимального состояния может привести к разным решениям в одних и тех же условиях.

Если считается, что значимость первого частного критерия эффективно­сти в ранжированном многокомпонентном критерии не превышает суммарной значимости остальных частных критериев, то для перехода к однокритериальной задаче может быть использован метод комбинированной целевой функции. Он заключается в присвоении каждому частному критерию весового значения, исходя из условия

где р_i — весовой коэффициент при i-м частном критерии.

Перед формированием комбинированной целевой функции необходимо нормировать частные критерии, то есть привести их к единому масштабу изме­рения. Для этого необходимо наличие хотя бы одного, а лучше нескольких фактических значений частных критериев эффективности, характеризующих возможные состояния объекта исследования. Наиболее используемым спосо­бом нормировки является переход от стандартных измерителей к таким единицам измерения, чтобы имеющиеся значения частного критерия находились в пределах от нуля до единицы. Такой переход осуществляется через зависимость (3.9)

где у_i - нормированное значение i-го частного критерия;

— соответственно минимальное и максимальное значение i-го частного критерия из имеющегося набора.

После определения весовых значений и нормировки частных критериев составляется комбинированная целевая функция

(3.10)

Направление оптимизации (min или max) выбирается по большинству ча­стных критериев, остальные критерии приводятся к тому же направлению ум­ножением на “—1”.

После этого решается однокритериальная задача поиска минимального или максимального значения для (3.10).

Полученное с помощью комбинированной целевой функции решение должно быть оценено с позиций каждого частного критерия эффективности на предмет его корректности. В общем случае это решение не оптимизирует ни один из частных критериев, а представляет собой некий компромисс между ними.

Основным недостатком метода является сложность объективной оценки значений весовых коэффициентов. Даже использование методов математиче­ской статистики не позволяет освободиться от необходимости субъективной

оценки значений некоего показателя качества работы объекта исследования, который затем найдет свое отражение в комбинированной целевой функции.

Вторым недостатком метода является отсутствие, в большинстве случаев, смысловой интерпретации полученной комбинированной целевой функции.

Если существует один частный критерий эффективности, весовое значе­ние которого по оценкам исследователя значительно выше весов остальных ча­стных критериев, то имеет смысл использовать третий вариант решения много­критериальных задач – метод учета целевых функций в ограничениях.

В соответствии с наименованием этого метода, переход к однокритериальной задаче осуществляется с помощью создания системы ограничений для малозначимых частных критериев эффективности. Общий критерий оптимиза­ции включает в себя только самый значимый частный критерий. Так как (3.5) представляет собой уже ранжированную целевую функцию, то после примене­ния метода учета целевых функций в ограничениях к ней, результат будет иметь вид (3.11)

По сути этот метод представляет собой частный случай метода комбини­рованной целевой функции, когда весовые коэффициенты могут принимать только два значения 0 и 1.

Поэтому основным недостатком метода учета целевых функций в огра­ничениях является слабая дифференциация целевых функций по их значимо­сти. Вторым недостатком является сложность определения граничных условий для менее значимых частных критериев.

Общим недостатком, для всех описанных выше вариантов решения мно­гокритериальных задач, является необходимость принятия субъективных ре­шений в процессе выбора окончательного варианта состояния объекта или формирования целевой функции. Каждый исследователь может иметь свои взгляды на процессы, происходящие с объектом и, как следствие, одна и та же задача может иметь столько вариантов решения, сколько предпринималось по­пыток ее решить. Причем разница между вариантами решений может заклю­чаться не в уровне их точности, то есть степени близости к оптимальному ва­рианту состояния объекта, а в самом понимании этого оптимального состоя­ния.

Для описанного выше подхода характерно несколько основных аспектов:

- процесс вербального описания цели исследования или функционирования
объекта опирается только на очень общие указания, которые не дают гарантии
принятия достаточно объективного решения;

- при формировании критерия эффективности, на основании целей ее
функционирования, допускается весьма свободный выбор составляющих кри­
терия эффективности;

- принципы многокритериальной оптимизации позволяют сократить коли­
чество вариантов состояния системы, потенциально пригодных в качестве оп-

тимальных, но не дают окончательного ответа на вопрос о том какое же со­стояние системы является оптимальным в данной задаче;

- методы решения многокритериальных задач, в конечном счете, сводятся к субъективной оценке исследовательской группой значимости каждой состав­ляющей критерия эффективности.