СМО с отказами

В качестве показателей эффективности СМО с отказами будем рассматривать:

А - абсолютную пропускную способность СМО, т.е. среднее число заявок, обслуживаемых в единицу времени;

Q - относительную пропускную способность, т.е. среднюю долю пришедших заявок, обслуживаемых системой;

Р_отк. - вероятность отказа, т.е. того, что заявка покинет СМО необслуженной;

- среднее число занятых каналов(для многоканальной системы).

Рассмотрим задачу одноканальной системы обслуживания с отказами. Пусть имеется один канал, на который поступает поток заявок с интенсивностью . Поток обслуживаний имеет интенсивность *. Требуется найти предельные вероятности состояний системы и показатели ее эффективности.

Система S (СМО) имеет два состояния: S₀ - канал свободен, S₁ - канал занят. Размеченный граф состояний представлен на рис. 7.2.

В предельном, стационарном режиме система алгебраических уравнений для вероятностей состояний имеет вид.

(7.4)

Рис. 7.2

т.е. система вырождается в одно уравнение. Учитывая нормировочное условие р₀ + p₁=1, найдем из (7.4) предельные вероятности состояний

(7.5)

которые выражают среднее относительное время пребывания системы в состоянии S₀ (когда канал свободен) и S₁ (когда канал занят), т.е. определяют соответственно относительную пропускную способность Q системы и вероятность отказа Р_отк..

(7.6) (7.7)

Абсолютную пропускную способность найдем, умножив относительную пропускную способность Q на интенсивность потока отказов

(7.8)

В качестве примера многоканальной системы с отказами рассмотрим классическую задачу Эрланга. Пусть имеется n каналов, на которые поступает поток заявок с интенсивностью Поток обслуживания имеет интенсивность . Требуется найти предельные вероятности состояний системы и показатели ее эффективности.

Система S (СМО) имеет следующие состояния (нумеруем их по числу заявок, находящихся в системе): S₀, S₁, S₂,..., S_k,... S_n, где S_k - состояние системы, когда в ней находится k заявок, т.е. занято k каналов.

Граф состояний СМО соответствует процессу гибели и размножения и показан на рис. 7.3.

Рис. 7.3

Поток заявок последовательно переводит систему из любого левого состояния в соседнее правое с одной и той же интенсивностью X. Интенсивность же потока обслуживания, переводящих систему из любого правого состояния в соседнее левое состояние, постоянно меняется в зависимости от состояния. Действительно, если СМО находится в состоянии S₂ (два канала заняты), то она может перейти в состояние S₁ (один канал занят), когда закончит обслуживание либо первый, либо второй канал, т.е. суммарная интенсивность их потоков обслуживании будет . Аналогично суммарный поток обслуживании, переводящий СМО из состояния S₃ (три канала заняты) в S₂, будет иметь интенсивность , т.е. может освободиться любой из трех каналов и т.д.

Используя формулы процесса гибели и размножения, предельных вероятностей состояния можно рассчитать по формулам

(7.9)

(7.10)

где - приведенная интенсивность потока заявок или интенсивность нагрузки канала.

Формулы (7.9) и (7.10) для предельных вероятностей получили названия формул Эрланга (Эрланг А.К. (конец XIX в. - начало XX в.) - датский инженер, математик - основатель теории массового обслуживания).

Вероятность отказа СМО, относительная и абсолютная пропускная способность, а также среднее число занятых каналов рассчитываются по формулам:

(7.11)

где p_k - предельные вероятности состояний, (см. формулы (7.9) и (7.10)).

Среднее число занятых каналов можно найти и по формуле

(7.12)