Марковские случайные процессы и их виды. Потоки событий

Процесс работы СМО представляет собой случайный процесс.

Под случайным процессом понимается процесс изменения во времени состояния какой-либо системы в соответствии с вероятностными закономерностями.

Процесс называется процессом с дискретными состояниями, если его возможные состояния S₁, S₂, S₃ … можно заранее перечислить, а переход системы из состояния в состояние происходит мгновенно (скачком). Процесс называется процессом с непрерывным временем, если моменты возможных переходов системы из состояния в состояние не фиксированы заранее, а случайны.

Процесс работы СМО представляет собой случайный процесс с дискретными состояниями и непрерывным временем. Это означает, что состояние СМО меняется скачком в случайные моменты появления каких-то событий (например, прихода новой заявки, окончания обслуживания и т.п.).

Математический анализ работы СМО существенно упрощается, если процесс этой работы - марковский. Случайный процесс называется марковским или случайным процессом без последствия, если для любого момента времени t₀ вероятностные характеристики процесса в будущем зависят только от его состояния в данный момент t₀ и не зависят от того, когда и как система пришла в это состояние.

В природе нет чисто марковских процессов, но многие процессы можно приближенно считать марковскими.

При анализе случайных процессов с дискретными состояниями удобно пользоваться геометрической схемой - так называемым графом состояний. Обычно состояния системы изображаются прямоугольниками (кружками), а возможные переходы из состояния в состояние - стрелками (ориентированными дугами), соединяющими состояния.

Пример. Пусть требуется построить граф состояний следующего случайного процесса: устройство S состоит из двух узлов, каждый из которых в случайный момент времени может выйти из строя, после чего мгновенно начинается ремонт узла, продолжающийся заранее неизвестное случайное время.

Решение. Возможные состояния системы: S₀ - оба узла исправны; S₁ - первый узел ремонтируется, второй исправен; S₂ - второй узел ремонтируется, первый исправен; S₃ - оба узла ремонтируются. Граф системы приведен на рис. 7.1.

Стрелка, направленная, например, из S₀ в S₁, означает переход системы в момент отказа первого узла, из S₁ в S₀ - переход в момент окончания ремонта этого узла.

На графе отсутствуют стрелки из S₀ в S₃ и из S₁ в S₂. Это объясняется тем, что выходы узлов из строя предполагаются независимыми друг от друга и, например, вероятностью одновременного выхода из строя двух узлов (переход из S₀ в S₃) или одновременного окончания ремонтов двух узлов (переход из S₃ в S₀) можно пренебречь.

Рис. 7.1.

Важным понятием в теории массового обслуживания является понятие потока событий.

Под потоком событий понимается последовательность однородных событий, следующих одно за другим в какие-то случайные моменты времени.

Поток характеризуется интенсивностью l - частотой появления событий или средним числом событий, поступающих в СМО в единицу времени.

Поток событий может быть регулярным, если события следуют одно за другим через определенные, равные промежутки времени, или стационарным, если его вероятностные характеристики не зависят от времени. В частности, интенсивность стационарного потока есть величина постоянная: l(t)=l.

Поток событий называется потоком без последействия, если для любых двух непересекающихся участков времени i₁ и i₂ - число событий, попадающих на один из них, не зависит от числа событий, попадающих на другие.

Поток событий называется ординарным, если события появляются в нем поодиночке, а не группами.

Поток событий называется простейшим (или стационарным пуассоновским), если он одновременно стационарен, ординарен и не имеет последействия. Заметим, что регулярный поток не является "простейшим", так как он обладает последействием: моменты появления событий в таком потоке жестко зафиксированы.

При наложении достаточно большого числа п независимых,стационарных и ординарных потоков (сравнимых между собой по интенсивностямl_i (i=l,2,...,п) получается поток, близкий к простейшему с интенсивностью, равной сумме интенсивностей входящих потоков, т.е.