Оценка существенности коэффициента корреляции, уравнения регрессии и его коэффициентов

Оценка степени тесноты связи с помощью коэффициента корреляции обычно проводится на основе выборки. Возникает вопрос, насколько правомерен вывод о наличии корреляционной связи в генеральной совокупности, из которой была произведена выборка, и не являются ли полученные значения параметров результатом действия случайных причин. В этом случае необходимо оценить существенность линейного коэффициента корреляции, дающую возможность распространить выводы по результатам оценивания выборки на всю генеральную совокупность. Для этого используется критерий Стьюдента:

,

где n — объем выборки.

Величину сравнивают с табличным значением критерия Стьюдента при числе степеней свободы, равным (n – 2). Если больше , то подтверждается связь между признаками. Если величина коэффициента корреляции превышает величину средней квадратической ошибки более чем в раз, то можно говорить о существенности выборочного коэффициента корреляции. Доверительный интервал для коэффициента корреляции будет равен

,

где ; — значение коэффициента корреляции в генеральной совокупности.

Значимость коэффициентов регрессии (обычно для совокупности n < 30) определяется с помощьюкритерия Стьюдента. При этом вычисляются фактические значения t‑ критерия для параметров а и b:

, ,

где — среднее квадратическое отклонение результативного фактора от выровненных значений ; — среднее квадратическое отклонение фактора .

Полученные по этим формулам фактические значения и сравниваются с критическим , определенным по таблице Стьюдента на основе принятых уровня значимости и числа степеней свободы ν:

,

где n — количество наблюдений, k — число факторов в уравнении регрессии.

Параметры а и b уравнения регрессии можно считать типичными, если соответствующие фактические t больше . Средние ошибки оценки параметров b и r [lxi] вычисляются по формулам

, .

Прогноз, полученный подстановкой в уравнение регрессии ожидаемого значения фактора, называют точечным прогнозом. Вероятность точной реализации такого прогноза очень мала. Поэтому рассчитывается значение средней ошибки прогноза или доверительный интервал прогноза с достаточно большой вероятностью. Среднюю ошибку положения линии регрессии в генеральной совокупности при определяют следующим образом:

,

где — оценка среднего квадратического отклонения результативного признака от линии регрессии в генеральной совокупности с учетом степеней свободы вариации; n — количество элементов в выборке; — ожидаемое значение фактора x.

Для вычисления доверительных границ прогноза линии регрессии находят значение t ‑критерия по таблице Стьюдента на основе числа степеней свободы и уровня значимости (доверительной вероятности). Затем вычисляют предельную ошибку по формуле[lxii]

.

В экономической статистике в большинстве случаев уровень значимости принимается равным 0,05. Доверительный интервал прогноза представляет собой диапазон от до . Средняя ошибка прогноза для индивидуального значения по правилу дисперсии суммы независимых переменных образуется из ошибки прогноза положения линии регрессии и среднего квадратичного отклонения индивидуальных значений от линии регрессии (остаточной вариации):

.

Аналогично вышеизложенному доверительный интервал прогноза индивидуальных значений результирующего признака при x = x_k представляет собой диапазон от до , где .

Значимость коэффициента множественной детерминации и соответственно адекватность модели можно проверить с помощью критерия Р. Фишера

,

где R ² — коэффициент множественной детерминации (); k — число факторных признаков в уравнении регрессии.

Связь считается существенной, если F _расч больше табличного значения F ‑ критерия (F _табл) для заданного уровня значимости α и числа степеней свободы ν ₁ = k, ν ₂ = n – k – 1.