Сложные гипотезы

Пример сложной гипотезы. Плотность распределения генеральной совокупности нормальная, дисперсия известна и равна . Из генеральной совокупности X извлечена выборка . Проверяется сложная гипотеза

: против альтернативы : .

Примеры необходимости проверки подобного рода гипотез:

выявление разладки технологического процесса по параметру a;

распознавание перехода значения регулируемого параметра через уставку;

выявление превышения некоторой характеристикой установленной нормы (при медицинской диагностике, экологическом мониторинге, контроле качества пищевых продуктов, при сертификационных и иных испытаниях изделий и т.д.).

Поскольку проверяются гипотезы о математическом ожидании, как и в предыдущем разделе, подходящей статистикой для проверки этой гипотезы является среднее арифметическое, плотность распределения которого нормальна с дисперсией .

На рис. 35 приведены примеры двух вариантов расположения плотностей распределения средних арифметических значений, соответствующих гипотезам и : при значительном удалении друг от друга истинных значений математических ожиданий (см. рис. 35, а) и при близком их расположении.

Если в первом варианте в качестве критического значения выбрать значение а, и сравнивать с ним получающееся среднее арифметическое значение, то возможно достижение достаточно малых значений вероятностей ошибочных решений a и b. Однако, формулировка сложной гипотезы допускает вариант, показанный на рис. 35, б. В этой ситуации, если критическим значением является а, вероятности a и bсколь угодно близки к 0,5, что для практики недопустимо. Можно уменьшить вероятность ошибки первого рода aпутем перемещения границы между областями и вправо. Но тогда вероятность ошибки второго рода будет недопустимо близка к единице, поскольку в этом случае она равна площади под кривой плотности распределения статистики , соответствующей гипотезе , по всей области , то есть области, при попадании в которую принимается решение о непротиворечивости экспериментальным данным гипотезы .

Попытка уменьшить значение вероятности b путем перемещения влево критического значения, то есть границы между областями и (на рис. 35 эти области обозначены, как и ), приводит к недопустимо близкому к единице значению вероятности ошибки первого рода .

Из этого следует, что при проверке сложных гипотез может контролироваться только одна из вероятностей ошибочного решения: либо a, либо b. Значение другой из них не гарантируется и может быть сколь угодно близким к единице.

Это обстоятельство является существенным недостатком описанного метода проверки сложных гипотез.