Производящая функция моментов

Производящей функцией моментов случайной величины x называется математическое ожидание функции y (n) = exp(nx), где n – аргумент производящей функции моментов:

.

Производящая функция моментов обладает рядом полезных свойств.

1) ;

2) Первая производная от по аргументу n:

, при n = 0 получим ;

3) Вторая производная от по аргументу n:

, при n = 0 получим

;

4)k - я производная от по аргументу n:

,при n = 0 получим

.

Таким образом, чтобы получить значение k -го начального момента, достаточно продифференцировать производящую функцию моментов k раз по n и подставить в полученную производную n = 0.

П р и м е р. Написать производящую функцию моментов для биномиального распределения и вычислить математическое ожидание и дисперсию случайной величины, распределенной по биномиальному закону.

.

Первая производная от по n

.

Вторая производная от по n

.

Вычислим эти производные при n = 0:

, .

Окончательно получим: M [ m ] = np, D[ m ] = np (1 – p) = npq.

Сопоставляя полученное выражение для математического ожидания числа появления события A в испытаниях по схеме Бернулли с наиболее вероятным значением этого числа, видим, что они совпадают.

З а м е ч а н и е о сходимости распределений вероятности и производящих функций моментов.

Пусть имеется последовательность распределений вероятностей дискретной случайной величины .

Пусть – производящие функции соответствующих распределений из этой последовательности, которые также образуют последовательность

Если последовательность сходится, имеет предел и пределом этой последовательности является распределение , то последовательность также сходится, имеет предел, и ее пределом является производящая функция моментов предельного распределения. Справедливо и обратное утверждение.

Обратим внимание на то, что конструкция производящей функции моментов близка конструкции обратного дискретного преобразования Фурье, отсюда вытекают полезные свойства производящих функций моментов и близость их свойств свойствам дискретного преобразования Фурье.