Моменты функций от случайных величин

Очевидно, что любая нетривиальная функция от случайной величины есть также случайная величина. Пусть определена взаимно однозначная функция h = f (x). Если случайная величина xзадана в виде

,

то случайная величина hбудет представлена своими значениями и их вероятностями следующим образом:

,

где .

Моменты случайной величины h записываются очевидным образом:

начальные ;

центральные

.

Рассмотрим полезный для приложений частный случай линейной функции случайной величины, а именно функцию h = a x + b.

.

Полученное выражение показывает, что математическое ожидание линейной функции от случайной величины есть функция от математического ожидания этой величины:

.

Найдем второй центральный момент, то есть дисперсию этой функции:

.

В терминах и в обозначении дисперсий это соотношение имеет вид:

D [ a x + b ] = .

Как и следовало ожидать, из этого выражения следует, что смещение значений случайной величины не влияет на ее дисперсию.

Пусть . Тогда .

Пусть . Тогда .