Вероятность событий

Вероятность (осуществления) события – числовая характеристика возможности события при условиях S. Если , то вероятность события А есть вероятностная мера множества , обозначается P (A).

Приведем математические определения вероятности события.

К л а с с и ч е с к о е о п р е д е л е н и е:

P (A) есть отношение количества случаев, благоприятствующих появлению события A, к общему числу испытаний.

Ч а с т о т н о е о п р е д е л е н и е:

где n – общее число выполненных испытаний, m – количество случаев появления события A при этих испытаниях.

С о в р е м е н н а я а к с и о м а т и к а (А. Н. Колмогоров):

P (A) – неотрицательная монотонная счетно-аддитивная мера возможности случайного события, такая, что P (T) = 1.

Пояснения к этой аксиоматике:

неотрицательность: P (A) ³ 0;

монотонность: если A Ì B то P (A) £ P (B), то есть, если при наступлении события A обязательно наступает событие B, но обратное необязательно, то P (A) £ P (B);

счетная аддитивность: если условия S определены, события попарно несовместны, то есть Æ, , то

.

В современной теории вероятностная мера определяется на классах событий. Классы событий образуются таким образом, чтобы они давали возможность определить вероятностную меру вначале на простейших событиях, а затем распространить ее на события любой сложности. Для этого класс событий должен содержать в себе не только сходящиеся в этом классе последовательности событий, но также их пределы. Обозначим класс событий Â.

Если в условиях S события принадлежат классу событий Â, и счетное объединение и счетное пересечение этих событий также принадлежит этому классу, то есть

и ,

то этот класс событий называется алгеброй событий.

Если в этих же условиях , и , то такой класс событий называется сигма-алгеброй ( s- алгеброй).

П р и м е р и з п л а н и м е т р и и. Класс всех многоугольников образует алгебру многоугольников, поскольку пересечение счетного количества многоугольников есть также многоугольник. Дополнение этого класса бесконечными пересечениями и объединениями многоугольников, что мы делали для определения меры (площади) круга, привело к образованию сигма-алгебры, и это позволило с помощью предельного перехода распространить меру (площадь) на геометрические фигуры, которые не являются многоугольниками, но суть пределы, к которым стремятся бесконечные сходящиеся последовательности многоугольников при их объединении и пересечении.

В итоге в соответствии с современной аксиоматикой теории вероятностей говорят, что случайные события и вероятностная мера этих событий определены тройкой: (W, Â, P ), где фигурируют введенные обозначения пространства элементарных событий, сигма-алгебры событий и вероятностной меры на них [4].

Для иллюстрации введенных понятий и свойств вероятностной меры, как было указано ранее, прибегают к геометрическому представлению событий в виде замкнутых фигур внутри прямоугольника, который представляет собой пространство элементарных событий W. Вероятностная мера событий отождествляется с площадью соответствующих фигур с учетом того, что вероятностная мера всего прямоугольника равна единице.

Это представление событий и вероятностей показано на рис. 1, который иллюстрирует свойства монотонности (рис. 1, а) и счетной аддитивности (рис. 1, б) вероятностной меры.

Из аксиоматики Колмогорова следует:

а) ;

б) Æ, откуда следует: P (T)= 1 = P (T)+ P (Æ)= 1 + P (Æ),

и, наконец, P (Æ)= 0;

в) AÎW, B ÎW, A и B противоположны, то есть A B = Æ, A B = Т;

тогда P (A B) = P (A)+ P (B) = P (T) = 1, откуда , то есть

, ;

г) пусть AÎW, B ÎW исобытия пересекаются, то есть Æ.

В этом случае вероятность объединения событий не равна сумме вероятностей. Для вывода формулы представим объединение пересекающихся событий A и B в виде объединения трех непересекающихся событий (рис. 2): .

Точно так же представим события

A и B: , .

К этим выражениям можно применить аксиому счетной аддитивности вероятностной меры:

,

, ,

откуда следует, что и .

Подставляя эти два выражения в первое, окончательно получим

=

= .

Очевидно, что в случаях, когда события несовместны, то есть не пересекаются,

,

а в общем случае всегда .