Т Е О Р И Я В Е Р О Я Т Н О С Т Е Й

10.1. Принципы частотного планирования сетей радиосвязи и телерадиовещания 100 10.2. Методы частотного планирования сетей радиосвязи и телерадиовещания 104

Глава 11. Методы частотного планирования сетей сухопутной подвижной связи

11.1. Планирование сетей с помощью модели Окамура - Хата 101

11.2. Частотное планирование сетей сотовой подвижной связи 106

11.3. Частотно-территориальное планирование сетей сотовой подвижной связи 108 11.4. Оценка эффективности использования РЧС в сетях радиосвязи и телерадиовещания 109

Заключение 110

Литература 111

ОГЛАВЛЕНИЕ

1. Теория вероятностей………………………………………………………………… 7

1.1. Предмет теории вероятностей………………………………………………… 7

1.2. Случайные события и вероятность…………………………………………… 7

1.2.1. Случайные события, виды случайных событий,

основные понятия и определения…………………………………………. 7

1.2.2. Вероятность событий………………………………………………………. 10

1.2.3. Условная вероятность……………………………………………………… 13

1.2.3.1. Формула полной вероятности…………………………………………. 15

1.2.3.2. Формула Байеса………………………………………………………… 15

1.2.4. Последовательность независимых испытаний (схема Бернулли)……… 17

1.3. Дискретные случайные величины……………………………………………. 18

1.3.1. Распределение вероятностей дискретных случайных величин …………. 18

1.3.2. Биномиальное распределение вероятностей……………………………… 20

1.3.3. Числовые характеристики …………………………………………………. 22

1.3.4. Моменты функций от случайных величин……………………………….. 25

1.3.5. Производящая функция моментов …………………………………….….. 26

1.3.6. Теорема Пуассона…………………………………………………………… 28

1.3.7. Локальная теорема Муавра – Лапласа…………………………………….. 29

1.4. Двумерные дискретные случайные величины……………………………….. 30

1.4.1. Распределение вероятностей………………………………………………. 30

1.4.2. Числовые характеристики…………………………………………………. 32

1.4.3. Линейное преобразование случайного вектора. Числовые

характеристики…………………..………………………………………….. 36

1.4.4. Производящая функция моментов двумерного случайного

вектора………………………………………………………………………... 37

1.5. Энтропия и информация (по Шеннону)…………………………………… 39

1.6. Непрерывные случайные величины………………………………………….... 43

1.6.1. Функция распределения и плотность распределения вероятностей……... 44

1.6.2. Числовые характеристики ………………………………………..………… 46

1.6.3. Дифференциальная (относительная) энтропия…………………………... 52

1.6.4. Характеристическая функция непрерывной случайной величины……… 54

1.6.5. Линейные функции непрерывных случайных величин………………..…. 56

1.6.6. Примеры плотности распределения непрерывных случайных величин… 57

1.6.6.1. Случайная величина – интервал времени между импульсами

в простейшем потоке……………………………………………………... 57

1.6.6.2. Равномерная плотность распределения………………………………… 61

1.6.6.3. Плотность распределения Arcsin……………………………………….. 62

1.6.6.4. Нормальная плотность распределения (Гаусса)………………………. 63

1.6.6.5. Плотность распределения Лапласа…………………………………….. 67

1.6.6.6. Плотность распределения Коши……………………………………….. 69

1.6.6.7. Экспоненциальное семейство распределений…………………………. 70

1.6.7. Функции от непрерывных случайных величин…………………………… 71

1.6.8. Неравенство Чебышева………………………………….…………………. 76

1.7. Двумерные непрерывные случайные величины (двумерные

случайные векторы) …………………………………………………………….. 78

1.7.1. Функции распределения и плотности распределения……………………. 78

1.7.2. Числовые характеристики………………………………………………….. 81

1.7.3. Ковариационная матрица случайного вектора……………………………. 85

1.7.4. Линейные функции случайных векторов………………………………….. 86

1.7.5. Характеристическая функция двумерного случайного вектора………….. 88

1.7.6. Плотность распределения суммы двух независимых

случайных величин…………………………………………………………. 89

1.7.7. Двумерная нормальная плотность распределения……………………….. 90

1.8. Многомерный случайный вектор …………………………………………… 95

2. Математическая статистика………………………………………………………… 98

2.1. Задачи математической статистики…………………………………………… 98

2.2. Кондиционирование результатов экспериментов……………………………. 99

2..3. Точечное оценивание………………………………………………………….. 102

2.3.1. Оценивание квантилей……………………………………………………… 102

2.3.2. Точечное оценивание моментов…………………………………………… 104

2.3.2.1. Оценивание моментов по выборочной функции распределения……. 105

2.3.2.2. Оценивание моментов по выборочной плотности

распределения (по гистограмме)………………………………………. 106

2.3.3. Оценивание параметров законов распределения…………………………. 108

2.3.4. Свойства точечных оценок…………………………………………………. 109

2.3.4.1. Свойства оценок математического ожидания ………………………… 110

2.3.4.2. Свойства оценок дисперсии…………………………………………….. 113

2.3.4.3. Свойства оценки математического ожидания случайного вектора…. 120

2.3.4.4. Оценка ковариационной матрицы случайного вектора………………. 121

2.3.5. Метод максимального правдоподобия…………………………………….. 122

2.3.6. Метод минимума ……………………………………………………….. 126

2.3.7. Оценивание коэффициентов аппроксимирующих полиномов………….. 128

2.3.7.1. Формулировка задачи………………………………………………….. 128

2.3.7.2. Измерения однократные……………………………………………….. 131

2.3.7.3. Плотность распределения величины …………………………….. 135

2.3.7.4. Практически важные замечания………………………………………. 136

2.3.7.5. Измерения многократные, характеристики погрешностей известны.. 138

2.3.7.6. Измерения многократные, характеристики погрешностей

неизвестны……………………………………………………………… 140

2.3.7.7. Особенности вычислений при реализации МНК и ОМНК………….. 143

2.3.7.8. Основные принципы планирования эксперимента, выполняемого

с целью полиномиальной аппроксимации…………………………….. 145

2.3.7.9. Расширение класса аппроксимирующих полиномов…………………. 146

2.4. Интервальное оценивание……………………………………………………… 147

2.4.1. Постановка задачи…………………………………………………………… 147

2.4.2. Доверительный интервал для вероятности………………………………… 148

2.4.3. Доверительный интервал для математического ожидания.

Дисперсия генеральной совокупности известна…………………………… 151

2.4.4. Доверительный интервал для математического ожидания.

Дисперсия генеральной совокупности неизвестна………………………… 152

2.4.5. Доверительный интервал для дисперсии………………………………….. 154

2.4.6. Доверительные интервалы для интерквантильного промежутка……….. 155

2.4.6.1. Параметрические толерантные пределы………………………………. 155

2.4.6.2. Непараметрические толерантные пределы……………………………. 158

2.4.7. Бутстреп – оценивание……………………………………………………… 164

2.5. Статистические методы проверки гипотез…………………………………… 167

2.5.1. Постановка задачи и общие принципы…………………………………… 167

2.5.2. Критическая область и критическое значение……………………………. 168

2.5.3. Простые гипотезы…………………………………………………………… 170

2.5.4. Сложные гипотезы…………………………………………………………... 172

2.5.5. Проверка гипотезы о виде плотности распределения…………………….. 174

2.5.5.1. Критерий “хи - квадрат”………………………………………………… 174

2.5.5.2. Критерий Колмогорова – Смирнова…………………………………… 179

2.5.5.3. Критерий Мизеса…………………………………………………… 181

2.5.6. Проверка гипотез при полиномиальной аппроксимации………………… 183

2.5.6.1. Критерий Кочрена проверки гипотезы о равенстве дисперсий……… 183

2.5.6.2. Проверка гипотезы о степени аппроксимирующего полинома,

характеристики погрешностей измерений известны………………… 184

2.5.6.3. Проверка гипотезы о степени аппроксимирующего полинома,

характеристики погрешностей измерений неизвестны………………. 188

2.6. Последовательная полиномиальная аппроксимация

с проверкой гипотезы о степени полинома…………………………………… 191

2.7. Проверка сложных гипотез о числовых характеристиках случайных

величин с контролем вероятностей ошибок первого и второго рода……….. 194

2.7.1. Основные положения……………………………………………………….. 194

2.7.2. Проверка сложной гипотезы о математическом ожидании………………. 195

2.7.3. Проверка сложной гипотезы о дисперсии…………………………………. 201

2.7.4. Проверка сложной гипотезы об интерквантильном промежутке………… 204

2.7.5. Проверка сложной гипотезы о числовых характеристиках

случайных величин с применением доверительных интервалов,

построенных методом бутстреп……………………………………………. 208

2.7.6. Проверка сложной гипотезы о вероятности методом статистического

последовательного анализа………………………………………………… 209

Библиографический список……………………………………………………………. 212

Т Е О Р И Я В Е Р О Я Т Н О С Т Е Й