См.: С.В.Жак. Математические модели менеджмента

и маркетинга. Ростов-Дон, "Лапо", 1997).

Проблема различия между "частным спросом" и "общественной потребностью" в тех или иных товарах относится к числу основных вопросов экономической теории. Важно и то, что из этого различия вытекает необходимость существования, наряду с рынком, и другого сектора экономики, функционирующего по другим законам, стимулируемого другими критериями (отнюдь не максимизацией прибыли). Модель двухсекторного строения смешанной экономики, вырастающей из базовой модели классического рынка, предложенная в данном пособии, характеризует определенную ступень углубления фундаментального экономического знания.

Для получения конкретных выводов и рекомендаций из двухсекторной модели смешанной экономики необходимы хоть какие-то, пусть и очень упрощенные, количественные, математические модели. Основными априорными предпосылками этих моделей являются.

1. Односекторность модели экономики – вся экономика описывается одной характеристикой, суммарными затратами или стоимостью произведенной продукции; считать это моделью отрасли вряд ли возможно, так как потребность в продукции отрасли не является независимой, а зависит от потребности в продукции других отраслей и распределения платежеспособности.

2. Однопродуктовость модели экономики – предполагается, что производится только один вид продукции; это позволяет отвлечься от важнейшего понятия "технологическое множество" и, как уже упомянуто, характеризовать рассматриваемую систему всего одним параметром.

3. Линейность рассматриваемых зависимостей (спроса от цены, предложения от цены) или обратных им.

4. Рассмотрение эластичности спроса и предложения как углового коэффициента линейных зависимостей (в действительности для линейной зависимости в целом коэффициент эластичности не может быть определен, так как он различен для разных точек рассматриваемой прямой).

Если первые два предположения вполне допустимы в связи с упрощенным, агрегированным рассмотрением задачи (в более или менее традиционном для политэкономии стиле), то последние два предположения приводят к принципиальным искажениям результата.

И дело здесь не в том, что вместо линейных треугольников появляются их криволинейные аналоги, и не в том, что при этом равновесная цена (точка пересечения рассматриваемых зависимостей в «паутинной» модели) требует теперь специально организованного итерационного процесса, – эти трудности легко преодолимы и основные концептуальные рассуждения о различном характере поведения в «левой» части диаграммы («рыночной») и в правой ее части («общественном» секторе) легко переносятся и на этот, более общий и более адекватный рассматриваемому процессу, случай.

Дело в том, что при линейных зависимостях и изменении их наклона как характеристики эластичности новая зависимость порождает новый уровень максимальной потребности Q_v! В действительности этого не должно быть: максимальная потребность является экзогенной величиной для данной модели, определяется (как верно отмечено автором) не ценой и издержками, и даже не уровнем дохода (бюджета населения), а другими социальными факторами. И уж никак не может зависеть от вида рассматриваемых зависимостей. Анализ степенных зависимостей (с постоянной эластичностью, положительной или отрицательной) для спроса Q = A P ^{- E} + Q_n и для предложения

S = B P ^a + S_n это хорошо иллюстрирует.

В результате, хотя равновесные цены при изменении эластичности спроса по цене и отвечающие им объемы спроса удовлетворяют тем же соотношениям, что отмечены автором (рис.1):

Р₁ < Р₀ < Р₂; Q₁ < Q₀ < Q₂,

(индекс 0 отвечает эластичности Е=1, 1 – случаю Е < 1, 2 – случаю E >1),

для введенных автором относительных характеристик

x = Q / Q_v, h = P / P_v, z = P Q / P_v Q_v, P_v = P(Q_v)

соотношения также имеют вид:

x₁ < x₀ < x₂

и утверждение «…чем более эластична линия спроса, тем менее значима роль рынка в экономике…» – неверно.

Еще более сложно поведение характеристик h и w: при изменении эластичности функции предложения кривые пересекаются в точке P = Q =1, и поведение этих относительных характеристик существенно зависит от того, Q_v > 1 или наоборот (при этом меняются и значения P_v) – рис.2.

Другими словами, линейный анализ вносит существенное искажение в модель и необходим более тщательный анализ.

С целью такого анализа ниже строится последовательность математических моделей, позволяющих оценивать количественные характеристики смешанной экономики, состоящей из рыночного и нерыночного секторов, и влияние на эти характеристики различных факторов (параметров принятых упрощенных зависимостей).

1. Расчет равновесной цены и отвечающей ей спроса (рыночного) при описанных выше степенных зависимостях сводится к решению уравнения

Q(P) = S(P).

При равенстве между собой нижних границ спроса и предложения (в частности, когда эти нижние границы равны нулю) это уравнение легко решить аналитически:

A P ^–E = B P^a , P* = (A/B)^{1/ (E+ a)}.

При переходе к индексам относительно начальных, эталонных значений спроса, предложения и цены Q₀, S₀ и P₀ (y = Q/Q₀ , z = S/ S₀, x= P/P₀ )

y = x ^{– E} , z = x^a , Q₀ x ^-E = S₀ x^a, x= (Q₀ / S₀)^{1/ (E+a)},

( A = Q₀ P₀ ^–E , B = S₀ P₀ ^a).

При экзогенном задании потребности (неплатежеспособного спроса) Q_в соответствующая ему цена P_в определяется уравнением S = B P^a = Q_в, P_в = (Q_в / B)^1/a = P₀ (Q_в / S₀)^1/a .

Если нижние границы спроса и предложения не равны между собой, то уравнение для равновесной цены имеет вид:

A P ^–E + Q_n = B P^a + S_n, (1)

и аналитически не решается, но легко построить итерационный процесс последовательных приближений и рассчитать равновесную цену с заданной степенью точности.

Если ввести масштаб М, Р = М х,то для безразмерного переменного х уравнение примет вид

х ^–Е = х^a - b, (1¢)

М = (А/ В)^1/(Е+a), b = (Q_n – S_n)/ B M^1/a .

Процесс последовательных приближений показан на рис.3 и различен в зависимости от знака b. Но во всех случаях эта равновесная цена существует и единственна, что также следует из рис.3. Нижняя граница цены P_n находится из уравнения

Q(P) = Q_в (2)

и, в отличие от линейного случая зависимости спроса от цены, не равна нулю (хотя является очень малой).

Верхняя граница цены находится из уравнения

S(P) = B P^a + S = Q_в (3)

и не зависит от изменения эластичности спроса по цене.

По рассчитанной равновесной цене P* можно подсчитать и характеристики x, h, z, введенные выше (последняя при нелинейных зависимостях считается несколько иначе – вычислением соответствующих площадей путем интегрирования).

Рис. 3.

2. Представляется интересным построить эконометрическую зависимость спроса от цены, автоматически дающую свои предельные значения Q_n и Q_в. Для этого вместо дифференциального уравнения, отвечающего простейшей степенной зависимости (то есть постоянному коэффициенту эластичности Е)

dQ/ dP = - E Q/P

необходимо рассматривать уравнение

dQ/ dP = - E (Q – Q_n) (Q_в – Q) / Q₀ P.

Его решение имеет вид:

Q = (Q_n x^g + Q_в C)/ (x^g + C), x= P/P₀ (4)

(C= (E - a₁) / (a₂ - E), a₁ = E Q_n / Q₀ , a₂ = E Q_в / Q₀, g = a₂ - a₁ )

и действительно обладает требуемыми свойствами: при стремлении Р (а значит и х) к нулю оно стремится к Q_в , при неограниченном росте Р оно стремится к Q_n.

Если перейти к безразмерным переменным не только для цены (Р=Р₀ х), но и для спроса (Q = Q₀ v / E), то для v получим зависимость

v = (a₁ x^g + a₂ C) / (x^g+ C). (4¢)

Следует отметить, что при стремлении верхней границы спроса (потребности) к бесконечности это решение не переходит в степенную зависимость, рассмотренную в предыдущем разделе, так как существенно изменилось определяющее его уравнение. Однако при одновременном росте Q_в и Q₀ такой предельный переход имеет место.

Расчет основных характеристик смешанной экономики для такой модифицированной функции спроса не слишком существенно отличается от рассмотренного в предыдущем разделе случая. Паутинная модель при этом имеет вид,

Рис. 4.

изображенный на рис.4, а вместо уравнения (1) необходимо решать уравнение

(Q_n x^g + Q_в C)/ (x^g + C) = B P₀ ^a x^a + S_n , (5)

которое при ином выборе масштаба (х = М₁ х₁) приводится к виду

f₁ = a / (x₁^g + b) = x₁ ^g - b = f₂ (5¢)

(a, b – постоянные, вычисляемые по значениям входных параметров модели), графический анализ этого уравнения приведен на рис.5 и позволяет опять сделать вывод о существовании и единственности равновесной цены. Практическое вычисление этой цены или корня уравнения (5) также легко реализуется итерационными процедурами последовательных приближений. Так же проводится и расчет диапазона цен (по уравнениям, (2) с измененной зависимостью

Рис. 5.

спроса от цены) и (3), и остальных характеристик смешанной экономики. В этой модели нижняя цена, как и при линейной зависимости, равна нулю.