Схема вывода уравнений сплошности

Исходными являются геометрические уравнения Коши (5.7).

1) дифференцируя попарно первые три уравнения (5.7) и складывая, получим

Аналогично получим еще два соотношения. Таким образом получим I группу уравнений сплошности.

(5.8)

2) Далее, из 3^х последних уравнений (5.7) составим выражение

, получим, что оно равно .

Затем, дифференцируя обе части по x, получим

т.е. получим II группу уравнений сплошности

(5.9)

Для получения двух последних уравнений (5.8) и (5.9) можно использовать принцип циклической перестановки индексов x, y, z т.е. применить схему.

Физические уравнения. Закон Гука.

Для вывода обобщенного закона Гука воспользуемся выражением закона Гука для простейшего случая – линейного (одноосного) напряжению состояния

или ; (5.10)

- чистого сдвига

или ; (5.11)

а также, соотношением Пуассона, устанавливающего линейку зависимость между продольной и поперечной деформациями

(5.12)

Далее, используя принцип независимости действия сил (напряжений), объемное (трехосное) растяжение (рис. 12) представим как совместное действие (сочетание) трех одноосных линейных растяжений во взаимно перпендикулярных направлениях.

Рис.12

Запишем выражение для линейной деформации, возникающей в направлении

(5.13)

где

Подставив эти соотношения в выражение (5.13), а затем применив принцип циклической перестановки индексов 1, 2, 3, получим выражение обобщенного закона Гука через главные напряжение

(5.14)

Выражение закона Гука для случая, когда напряженное состояние характеризуется тензором общего вида (3.4), имеет аналогичный вид

(5.16)

Заметим, в выражениях закона Гука (5.14) и (5.15) отражена зависимость компонентов деформаций от компонентов напряжений .

Приведем обратную форму записи закона Гука, где отражена зависимость от

(5.16)

,

где , объемная деформация

В теории упругости установлена связь между характеристиками упругости материала

(5.17)

Потенциальная энергия деформации

При деформировании твердых тел работа внешних сил превращается в потенциальную энергию деформации.

Ниже, без вывода, приводим выражение для удельной потенциальной энергии деформации (энергии, накопленной в единице объема деформирующегося тела)

(5.18)

Обычно удельную потенциальную энергию u представляют в виде суммы

U=U_об+U_a, (5.19)

где U_об - потенциальная энергия деформации, связанная с изменением объема тела;

U_a – потенциальная энергия деформации, связанная с изменением формы тела, которые в свою очередь определяются

, (5.20)

, (5.21)

В заключении отметим, что величина потенциальной энергии, накопленная в деформирующемся теле, характеризует уровень деформированности тела, т.е. может служить мерой деформируемости твердого тела.