Прямая и обратная задачи теории напряжений

Как следуют из предыдущего, напряженное состояние в точке может быть задано или тензором общего вида (3.4) или тензором через главные напряжения (3.5). Суть прямой задачи теории напряжений состоит в таком переходе:

Т.е. задан тензор напряжений (3.5) через главные напряжения σ₁, σ₂, σ₃. При этом напряжений по любой наклонной площадке, вектор нормали к которой υ имеет направляющие косинусы по отношению к направлениям σ₁, σ₂,, σ₃ соответственно l,m,n (, , ), определяем согласно выражениям

(3.6)

(3.7)

Выражения (3.6)и (3.7) – это и есть решение прямой задачи теории напряжений.

Из множества площадок общего положения, т.е. неглавных площадок, особый интерес представляют напряжения по октаэдрическим площадкам – площадкам равнонаклоненным к σ₁, σ₂, σ₃.

В этом случае углы, образованные между нормалью υ к октаэдрической площадке и направляемой главных напряжений σ₁, σ₂, σ₃ будут одинаковы и равны 60º. Известно соотношение в математике

Для нашего случая l=m=n, тогда l²=m²=n²=

И согласно выражению (3.6)

, (3.8)

а согласно (3.7) получим:

(3.9)

Суть обратной задачи теории напряжений состоит в таком переходе

Т.е. задан тензор общего вида (3.4), при этом необходимо определить главные напряжения σ₁, σ₂, σ₃ по известным компонентам σ_x, σ_y, σ_z, t_xy, t_yz, t_zx. Аналитическое решение обратной задачи основано на решении тензорного уравнения:

(3.10)

или соответствующего алгебраического уравнения

, (3.11)

где I₁, I₂, I₃ – инварианты напряженного состояния, принимающие вид

В заключении необходимо отметить, что существует графическое решение прямой и обратной задачи теории напряжений. Оно базируется на построении кругов напряжений (кругов Мора).