Тензор напряжений и его компоненты

Из нагруженного тела (рис.4) в окрестности произвольной внутренней частицы тела К выделяем элементарный объем в виде параллелепипеда (куба),

Рис.4

грани которого параллельны координатным плоскостям xy, yz, zx. По граням указанного элемента возникают напряжения, как результат взаимодействия частицы К с соседними. Далее, разложим вектор полного напряжения на каждой грани на нормальную и касательную составляющие, параллельные координатным осям. Полная картина напряжений с соответствующими индексами представлена на рис.5.

Рис.5

Аналогичные составляющие напряжений противоположного направления появится на тыльных гранях элемента (на рисунке не указаны). Составляющие напряжений σ_x, σ_y, σ_z, t_xy, t_yz, t_zx – называются компонентамим тензора напряжений, характеризующего напряженное состояние тела в данной точке. Иногда, для удобства обозначения всех компонентов тензора, будем вводить обозначение σ_ij, а сам тензор напряжений записывают в следующем виде:

(3.4)

С изменением угловой ориентации площадок выделеного элемента (или с изменением положения осей координат X,Y,Z) происходит изменение составляющих σ_ij по его граням. При этом одни из них возрастают, другие – уменьшаются. Доказано, что существует по крайней мере одна тройка взаимно перпендикулярных площадок (граней) элемента, по которым касательные составляющие напряжений t_xy,=t_yz=t_zx=0 обращаются в ноль. Такие площадки называются главными площадками, а возникающие по ним нормальные напряжения называются главными напряжениями и обозначаются σ₁, σ₂, σ₃. Тогда тензор напряжений, представленный через главные напряжения, упрощается и принимает вид:

(3.5)