Глава 3. Таблица 3.8. Таблица истинности логической функции «импликация»

Таблица 3.8. Таблица истинности логической функции «импликация»

1 А	В	F14 = A->8
I 1

а

Составное высказывание, образованное с помо­щью операции логического следования (импли­кации), ложно тогда и только тогда, когда из ис­тинной предпосылки (первого высказывания) сле­дует ложный вывод (второе высказывание).

Например, высказывание «Если число делится на 10, то оно делится на 5» истинно, так как истинны и первое вы­сказывание (предпосылка), и второе высказывание (вывод).

Высказывание «Если число делится на 10, то оно делится на 3» ложно, так как из истинной предпосылки делается ложный вывод.

Однако операция логического следования несколько от­личается от обычного понимания слова «следует». Если пер­вое высказывание (предпосылка) ложно, то вне зависимости от истинности или ложности второго высказывания (выво­да) составное высказывание истинно. Это можно понимать таким образом, что из неверной предпосылки может следо­вать что угодно.

В алгебре высказываний все логические функции могут быть сведены путем логических преобразований к трем базо­вым: логическому умножению, логическому сложению и ло­гическому отрицанию.

Докажем методом сравнения таблиц истинности (табл. 3.8 и 3.9), что операция импликации А -> В равносильна ло­гическому выражению A v В.

Таблица 3.9. Таблица истинности логического выражения AvB

А	В	А	AvB

Основы логики и логические основы компьютера

Таблицы истинности совпадают, что и требовалось дока­зать.

Логическое равенство (эквивалентность). Логическое ра­венство (эквивалентность) образуется соединением двух вы­сказываний в одно с помощью оборота речи «... тогда и толь­ко тогда, когда...».

Логическая операция эквивалентности «А тогда и только тогда, когда В» обозначается А-В и выражается с помощью логической функции F₁₀, которая задается соответствующей таблицей истинности (табл. 3.10).

Таблица 3.10. Таблица истинности логической функции эквивалентности

А	В	FW

Составное высказывание, образованное с помо­щью логической операции эквивалентности ис­тинно тогда и только тогда, когда оба высказыва­ния одновременно либо ложны, либо истинны.

Рассмотрим, например, два высказывания: А = «Компью­тер может производить вычисления» и В = «Компьютер включен». Составное высказывание, полученное с помощью операции эквивалентности, истинно, когда оба высказыва­ния либо истинны, либо ложны:

«Компьютер может производить вычисления тогда и то­лько тогда, когда компьютер включен».

«Компьютер не может производить вычисления тогда и только тогда, когда компьютер не включен».

Составное высказывание, полученное с помощью опера­ции эквивалентности, ложно, когда одно высказывание ис­тинно, а другое — ложно:

«Компьютер может производить вычисления тогда и толь­ко тогда, когда компьютер не включен».

«Компьютер не может производить вычисления тогда и только тогда, когда компьютер включен».