Система нечеткого вывода Мамдани-Заде

Для реализации систем на базе нечетких правил разработано множество алгоритмов нечеткого вывода. Алгоритмы нечеткого вывода различаются главным образом видом используемых правил, логических операций и разновидностью метода дефазификации. Разработаны модели нечеткого вывода Мамдани, Сугено, Ларсена, Цукамото.

Например, правила нечеткого вывода заданы следующим образом:

П1: если x есть A, то w есть D, П2: если y есть B, то w есть E, П3: если z есть C, то w есть F,

где x, y, z – имена входных переменных (четкого формата);

w – имя переменной вывода;

A, B, C, D, E, F – заданные функции принадлежности.

Иллюстрация к алгоритму нечеткого вывода представлена на рис.6.

Рисунок 6

Пример 2 реализации алгоритма Maмдани с правилами П1 и П2:

П1: если x есть A1 & y есть B1, то z есть C1, П2: если x есть A2 & y есть B2, то z есть C2,

где x, y – имена входных переменных (четкого формата);

z – имя переменной вывода;

A1, B1, C1, A2, B2, C2 – заданные функции принадлежности.

Далее следует этап, называемый «введение нечеткости».

Находятся степени истинности для предпосылок каждого правила:

,

где x₀, y₀ – имена входных переменных (четкого формата).

Находятся уровни отсечения для предпосылок каждого из правил.

,

где a1, a2 – уровни отсечения;

- оператор минимума.

Производится объединение усеченных множеств

, где C(z) – функция принадлежности для элемента z.

Для нахождения значения z₀ необходимо провести дефазификацию, например, центроидным методом [26].

Рассмотрим подробнее нечеткий вывод на примере механизма Мамдани (Mamdani). Это наиболее распространенный способ логического вывода в нечетких системах. В нем используется минимаксная композиция нечетких множеств. Она очень популярна в обыч­ных (неадаптивных) нечетких системах. Как правило, в модели Мамдани-Заде присутствуют следующие операторы:

· оператор логического или арифметического произведения для определения результирующего уровня активации, в котором учитываются все компоненты вектора х условия;

· оператор логического или арифметического произведения для определения значения функции принадлежности для всей импликации А→В;

· оператор логической суммы как агрегатор равнозначных результатов импликации многих правил;

· оператор дефузификации, трансформирующий нечеткий результат μ (y) в четкое значение выходной переменной у.

Этапы логического вывода:

1) Проводится процедура фазификации: определяются степени истинности, т.е. значения функций принадлежности для левых частей каждого правила (предпосылок).

2) Определяются уровни 'отсечения' для левой части каждого из правил:

3) Далее находятся 'усеченные' функции принадлежности:

4) композиция, или объединение полученных усеченных функций, для чего используется максимальная композиция нечетких множеств:

где MF(y) – функция принадлежности итогового нечеткого множества.

5) Далее осуществляется процедура приведения к четкости, например, методом среднего центра, или центроидный метод.

Организация вывода в нечеткой системе при наличии М правил представлена на рис.7

Рисунок 7- Обобщенная структурная схема вывода Мамдани-Заде

Геометрический смысл такого значения – центр тяжести для кривой MF(y). Рисунок 8 графически показывает процесс нечеткого вывода по Мамдани для двух входных переменных и двух нечетких правил R1 и R2.

.

Рисунок 8 – Иллюстрация работы системы нечеткого вывода по Мамдани

Рассмотренная система нечеткого вывода называется системой Мамдани-Заде. Особенно она популярна в неадаптивных нечетких системах.

В модели Мамдани-Заде присутствуют следующие операторы:

· оператор логического или арифметического произведения для определения результирующего уровня активации, в котором учитываются все компоненты вектора Х условия (см. рис.8);

· оператор логического или арифметического произведения для определения значения функции принадлежности для всей импликации A à B;

· оператор логической суммы как агрегатор равнозначных результатов импликации многих правил. На этапе агрегации чаще реализуется в виде логического сумматора (оператор МАХ). С помощью операции максимум (v) производится объединение усеченных множеств;

· оператор дефазификации, трансформирующий нечеткий результат µ (у) в четкое значение выходной переменной у.

На этапе приведения к четкости для нахождения значения z₀, необходимо провести дефазификацию, например центроидным методом.

В алгоритме Сугено вывод происходит следующим образом Пусть заданы правила

П1: если x есть A1 и y есть B1, то z1 = a1 x + b1 y, П2: если x есть A2 и y есть B2, то z2 = a2 x + b2 y.

Первый этап выполняется по аналогии с алгоритмом Мамдани.

На втором этапе находятся и индивидуальные выходы правил

z1 = a1 x + b1 y, z2 = a2 x + b2 y.

На третьем этапе определяется четкое значение переменной вывода

.

Иллюстрация работы алгоритма Сугено представлена на рисунке 8.

Рисунок 8 – Иллюстрация работы алгоритма Сугено

Литература

1. Осовский, С. Нейронные сети для обработки информации [Текст] / С. Осовский; пер. с польс. И. Д. Рудинского. - М.: Финансы и статистика, 2004. - 344c.: ил.

2. Рутковская, Д. Нейронные сети, генетические алгоритмы и нечеткие системы [Текст] / Д. Рутковская, М. Пилиньский, Л. Рутковский; пер. с польского. И. Д. Рудинского. - М.: Горячая линия-Телеком, 2004. – 452 c.: ил.

3. Ярушкина, Н. Г. Основы теории нечетких и гибридных систем [Текст]: учеб. пособие /Н. Г. Ярушкина. - М.: Финансы и статистика, 2004. – 320 c.: ил.

4. Яхъяева, Г. Э. Нечеткие множества и нейронные сети [Текст] / Г.Э. Яхъяева; Лаб. знаний, Интернет-ун-т информ. технологий - ИНТУИТ.ру. – М.: БИНОМ, 2006.

5. Комарцова Л.Г., Максимов А.В. Нейрокомпьютеры: Учеб. Пособие для вузов.-2-е изд., перераб. и доп. –М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2004.- 400с.

1. Недосекин, А. Финансовый менеджмент в условиях неопределенности [Электронный ресурс]. – http://www.finansy.ru/book/inv/001.htm.
2. Баврина, Т. Оценка эффективности инвестиционных проектов в условиях риска и неопределенности [Электронный ресурс]. – http://www.restinpeace.boom.ru/Tamara/index1.htm.
3. Кобринский, Б.А.. Нечеткая логика в анализе образных представлений в медицинских системах искусственного интеллекта. Сб. докл. междунар. конф. по мягким вычислениям и измерениям, 22-26 июня 1998 г [Текст]. – СПб, 1998. – Т. 1. – С. 233-235.
4. Жирабок, А.Н. Нечеткие множества и их использование для принятия решений [Электронный ресурс]. – http://zhurnal.ape.relarn.ru/articles/2003/207.pdf.
5. Заде, Л. Понятие лингвистической переменной и ее применение к принятию приближенных решений [Текст]. – М.: Мир, 1976. – 167 с.
6. Круглов, В.В. Нечеткая логика и искусственные нейронные сети [Текст]. / В.В. Круглов. – М.: Физматлит, 2001. – 224 с.
7. Осовский С. Нейронные сети для обработки информации/ Пер. с польского И.Д. Рудинского. [Текст]. -М.: Финансы и статистика, 2002.-344с.
8. Круглов, В.В. Искусственные нейронные сети. Теория и практика [Текст]. / В.В. Круглов – М.: Горячая линия, 2001. – 382 с.
9. Леоненков, А.В. Нечеткое моделирование в среде MATLAB и fuzzyTECH [Текст]. – СПб.: БХВ-Петербург, 2003. – 736 с.
10. Вовк, О.Л. Исследование алгоритмов нечёткого вывода в системах управления трудноформализуемыми объектами [Электронный ресурс]. – http://www.uran.donetsk.ua/~masters/2002/fvti/vovk/libr/vovk.zip.
11. Кряжевских, С. В. Введение в нечеткую логику и системы нечеткого управления [Электронный ресурс]. – http://www.gotai.net/documents/ doc-l-fl-001.aspx.
12. Relive Estimate Mathematic. Технологии RELIVE ESTIMATE MATHEMATIC [Электронный ресурс]. – http://www.matrix3x3.com/index-4.html.
13. Штовба, С.Д. Введение в теорию нечетких множеств и нечеткую логику [Электронный ресурс]. – http://matlab.exponenta.ru/fuzzylogic/index.php.
14. Ветров, Д.П. Программный комплекс для проектирования экспертных систем «ExSys» [Электронный ресурс]. – http://www.ccas.ru/mmro/received.html.
15. Сравнительная характеристика MATLAB и Maple V [Электронный ресурс]. – http://www.uran.donetsk.ua/~masters/2002/fvti/vovk/libr/users.kaluga.ru/ webpublic/matlab/default.htm.
16. Свободно распространяемые оболочки экспертных систем [Электронный ресурс]. – http://inf.susu.ac.ru/~pollak/expert/commercial/Q5-1.htm
17. Представление нечетких понятий в гибридной экспертной системе смоплекс [Электронный ресурс]. – http://fuzzy.kstu.ru/fulltext/sc96122.doc.
18. Долятовский, В.А. Нечетко-нейронная адаптивная система поддержки принятия решений «EIS-Manager» [Электронный ресурс]. – http://www.inftech.webservis.ru/.
19. Аникин, И.В. Разработка экспертной системы нечеткого принятия решений о выборе методов увеличения нефтедобычи [Электронный ресурс]. – http://cogsci.kzn.ru/art/colomna.doc
20. Рутковская Д. И др.Нейронные сети, генетические алгоритмы и нечеткие системы:Пер. с польск. И.Д. Рудинского. М.:Горячая линия-Телеком, 2004.-452с.