Устойчивость динамических систем

Для исследования устойчивости нелинейных динамических систем используется второй метод Ляпунова. Рассмотрим динамическую систему, которая описывается нелинейными уравнениями

Здесь Х и F(X) –n –мерные векторы

X(t)={x1,x2,...xn} F(X) ={f1(x1,x2,..xn)

f2(x1,x2,..xn)

....

fn(x1,x2,..xn)}

Совокупность величин {x1,x2,...xn} называется фазовыми координатами точки в n- мерном пространстве.

С течением времени фазовые координаты будут меняться, что приведет к перемещению точки.

Траектория движения точки называется фазовой траекторией n- мерном фазовом пространстве.

Второй метод Ляпунова базируется на использовании совместно с уравнениями движения системы специальной функции, которая называется функцией Ляпунова.

В качестве этой функции применяется функция фазовых координат Е(х1,х2, …хn), обладающая определенными свойствами. Назовем функцию Е(х) знакопостоянной, если в некоторой области фазового пространства она может принимать значения только одного определенного знака или обращаться в ноль. Знакопостоянная функция называется знакоопределенной, если она обращается в ноль только при х1=х2=…хn=0.

Если функция Е(х) является знакоопределенной, то уравнение Е(х)=const=C характеризует замкнутую поверхность, охватывающую начало координат. При убывании Е(х), т.е. dE/dt <0 фазовая траектория пересекает поверхность Е(х)=const=C в направлении начала координат (рис.1)

Это соответствует устойчивой системе.

Теорема1. Если существует такая знакоопределенная функция Е(х), полная производная по времени которой в силу дифференциальных уравнений движения является знакопостоянной или равняется нулю, то динамическая система является устойчивой.

Полная производная по времени функции Е(х) определяется так

d/dt E(x(t))= ∑ dE/dx_i dx_i/dt

Функция Ляпунова является хорошим инструментом для исследования различных динамических систем и в частности для определения устойчивости РНС.

Рис.1