Несмещенность МНК-оценок

Статистическая оценка некоторого параметра называется несме­щенной, если ее математическое ожидание равно истинному значению этого параметра.

Для случая парной линейной регрессии это означает, что опенки а и b будут несмещенными, если

М{а} = α,

M{b}=β.

Докажем это свойство. Используя правила преобразования выбо­рочных ковариаций, можно записать:

Cov(x, у) = Cov(x[a + βx + и]) =

= Cov(x, а) + Cov(x, βх) + Cov(x, и) = βVar(x) + Cov(x, и).

Применив формулу для коэффициента,а также полученное выше соотношение, составим выражение:

Далее, поскольку х — неслучайная величина, будем иметь:

и, таким образом, оценка b является несмещенной.

Несмещенность оценки а следует из цепочки равенств:

М{а}=

Замечание. Свойство несмещенности оценок можно доказать и при более слабой форме 4-го условия Гаусса-Маркова, когда х—случайная, но некоррелированная со случайной переменной ε, величина.