Уравнения однородной линии с распределенными параметрами

Напряжения и ток в линии являются функциями двух независимых переменных – пространственной координаты x, определяющей место наблюдения, и времени t, определяющей момент наблюдения. Считается, что направление координаты x совпадает с осью линии.

Необходимо найти пространственно-временное распределение величины тока в линии i (x, t) и напряжения между проводами u (x, t). В этом случае также можно определить процесс передачи энергии по линии, когда приемники и источники находятся на обоих концах линии.

Приняв положительное направление тока в линии слева направо называется "началом" левый конец линии. Расстояние от начальной точки до произвольной обозначим через x, а от конца – через x '. Вся длина линии l = x + x '.

Пользуясь первичными параметрами R ₀, L ₀, C ₀, G ₀ нарисуем участок D x в виде схемы замещения (рис)

Обозначим:

u – напряжение между верхним и нижним проводом в точке x;

D u – приращение напряжения на участке D x;

i – ток в точке x;

D i – приращение тока на участке D x.

Уравнения для приращений напряжения и тока на элементе D x линии запишутся:

(13.1)

Это уравнение в частных производных. По мере стремления D x к нулю степень точности этих уравнений повышается, причем величина второго порядка малости в правой части второго уравнения может быть опущена.

В этом случае длинная линия рассматривается как цепная схема с бесконечно большим количеством звеньев, электрические параметры которых бесконечно малы.

Разделив обе части уравнений на D x и перейдя к пределу D x ® 0, получим дифференциальные уравнения линии

(13.2)

Эти уравнения носят название телеграфных.

Если за начало отсчета принять конец линии, т.е. ввести координату x ', уравнения примут вид:

(13.3)

Уравнения (13.2) и (13.3) решаются однозначно при использовании начальных и граничных условий. Начальными условиями будут служить значения напряжения и тока в начале и конце линии в момент времени, принятый за нуль. Граничные условия определяются связями между напряжением и током в начале или в конце линии и зависят от заданного режима работы линии.

2. Расстояние между двумя ближайшими точками, взятое в направлении распространения волны, фазы колебаний напряжения различаются на 2p, называется длиной волны – l

,

. (13.13)

С течением времени волна перемещается от начала линии к ее концу. Она называется прямой или падающей волной.

Скорость перемещения падающей волны вдоль линии называется фазовой скоростью. Она определяется как скорость перемещения точки, фаза колебаний которой остается постоянной. Для прямой волны это условие записывается в виде

Следовательно:

(13.14)

Аналогичное исследование второго слагаемого выражения (13.12) показывает, что для произвольного момента времени она представляет синусоидальную волну, амплитуда которой возрастает с увеличением х, т.е. по мере удаления от начала линии к ее концу. С течением времени волна перемещается от конца линии к ее началу. Эта волна называется обратной или отраженной волной (рис. 13.3). Фазовая скорость обратной волны .

3. Уравнения однородной линии в гиперболических функциях

Подставив значения постоянных интегрирования в уравнения для напряжения и тока получим:

(13.17)

Сгруппируем члены, включающие ток и напряжение

.; . (13.18)

Эти уравнения не содержат в явном виде прямые и обратные волны, так как их составляющие кусочно вошли в гиперболические функции.

Если известны параметры нагрузки, то удобнее расстояние отсчитывать от конца линии x = l – x ':

; ;

где

Постоянные интегрирования и находятся в зависимости от напряжения и тока в конце линии (граничные условия), если они заданы. При

Откуда

Следовательно

(13.20)

Сгруппируем члены, включающие ток и напряжение

; .