Краткие теоретические сведения к контрольной работе 7

2.3.1. Определения и формулы к решению задач 261 – 270

Для вычисления двойного интеграла от функции по области D выполняется переход к двукратному интегралу с учетом уравнений границ области D. Для областей , изображенных на рис. 4, 5 переход к двукратному интегралу осуществляется по формулам:

; (2.22)

. (2.23)

Рис. 4 Рис.5

Для примера вычислим двойной интеграл по области D, ограниченной линиями и изображенной на рис. 6.

По формуле (2.22) найдем:

.

Вычисление начнем с внутреннего интеграла по у, при этом с величиной х обращаемся как с константой:

Рис. 6

.

При решении задач 261 – 270 используем следующий геометрический факт: двойной интеграл при в области D равен объему тела с основанием D, ограниченного сверху поверхностью и боковой цилиндрической поверхностью с образующими, параллельными оси Oz и направляющей, которая является границей области D.

З а д а ч а 12. Вычислить объем тела, ограниченного поверхностями .

Р е ш е н и е.

Заданное тело Т представлено на рис. 7 «криволинейной» призмой . Снизу тело Т ограничено областью D – частью плоскости z = 0 (или хОу).

Плоские боковые поверхности − соответственно части плоскостей . Сверху тело Т ограничено поверхностью – частью параболического цилиндра .

Рис. 7 Рис. 8

Поясним построение поверхности О₁С₁С₂О₂. Уравнение не содержит переменной х. Рассмотрим его на плоскости уОz, где оно определяет параболу (линия – часть этой параболы). Переместим эту параболу вдоль оси Ох и получим цилиндрическую поверхность .

Объем тела Т равен двойному интегралу:

.

Область D изображена на рис. 8. Расставим пределы интегрирования и получим двукратный интеграл .

y = 2 x

y = x

При вычислении внутреннего интеграла по х с переменной у обращаемся как с константой:

ед. куб.

Выполним проверку. Площадь основания призмы . Значит, средняя высота призмы , что визуально согласуется с чертежом.

2.3.2. Определения и формулы к решению задач 271 – 280

Работа силового векторного поля на дуге равна криволинейному интегралу по дуге от функций :

. (2.24)

Если дуга АВ линии задана уравнением (рис. 9), то и от криволинейного интеграла легко перейти к обычному определенному интегралу:

Рис. 9

. (2.25)

З а д а ч а 13. Вычислить работу силового поля при обходе против часовой стрелки треугольного контура с вершинами .

Р е ш е н и е.

Заданный контур , составленный сторонами треугольника , изображен на рис. 10.

Найдем уравнение стороны АВ, используя уравнение прямой, проходящей через две заданные точки:

Рис. 10 или .

По формуле (2.24) получим

Разобьем этот интеграл по замкнутому контуру на три интеграла, соответствующих отрезкам АВ, ВС, СА:

.

Учтем, что на отрезке

АВ , , х изменяется от 1 до 2;

ВС , , х изменяется от 2 до 1;

СА , , у изменяется от 3 до 2.

Тогда