Краткие теоретические сведения к контрольной работе 5

2.1.1. Определения и формулы к решению задач 171 – 180

Функцию называют первообразной от функции на отрезке [ a, b ], если во всех точках этого отрезка выполняется равенство .

Например, для функции первообразной будет любая из функций , так как и . Таким образом, если существует одна первообразная от функции , то существует целое семейство первообразных от функции . Это семейство первообразных называют неопределенным интегралом от функции и обозначают . Итак, по определению , если .

По определению неопределенного интеграла, таблице производных и правилам дифференцирования получаем следующую таблицу интегралов (1 − 16) и правил интегрирования (17 − 19).

1.	2.
3.	4.
5.	6.
7.	8.
9.	10.
11.	12.
13.	14.
15.	16.
17.
18.
19. Если , то

Из первого табличного интеграла следует:

Правила 17, 18 позволяют постоянный множитель выносить за знак ин-теграла и интегрировать каждое слагаемое в отдельности.

Правило 19 называют правилом о линейной замене.

З а д а ч а 1. Найти неопределенные интегралы:

Р е ш е н и е.

1) При вычислении интеграла сначала применим правила 17, 18. Затем приводим третье, седьмое, восьмое и девятое слагаемые исходного интеграла к табличному виду и, используя табличные интегралы 1 – 16, получаем ответ:

Заданные интегралы 2 − 6 вычисляем с использованием правила 19 и табличных интегралов 3, 4, 9, 2, 1 соответственно:

2)

3)

4)

5)

6)

2.1.2. Определения и формулы к решению задач 181 – 190

Метод замены переменной (способ замены) основан на следующей теореме:

если функция

(2.1)

непрерывная с непрерывной производной и имеет обратную функцию, то

(2.2)

Формула (2.1) вводит новую переменную t. Форма этого равенства может быть различной (см. в примерах ниже), например в виде .

Замена переменной не всегда приводит к табличному или хотя бы к более простому интегралу.

Метод интегрирования по частям определяется формулой:

(2.3)

З а д а ч а 2. Найти интегралы методом замены или интегрирования по частям.

Р е ш е н и е.

1) Интеграл по табличным интегралам вычислить нельзя. Введем новую переменную t:

(1)

Найдем дифференциалы обеих частей равенства (1). Напомним, что дифференциал , т. е. равен произведению производной функции и дифференциала независимой переменной.

Итак, из равенства (1) получаем:

или , или .

Отсюда

. (2)

С учетом формул (1), (2) производим замену переменной х на переменную t: . Получаем табличный интеграл: С помощью равенства (1) возвращаемся к исходной переменной Выполним проверку:

.

Производная от интеграла равна подынтегральной функции, следовательно, интеграл найден верно.

Принято оформлять решение этой задачи следующим образом:

Рассмотрим примеры интегрирования с использованием замены.

Проверка: .

Рассмотрим примеры вычисления интегралов с использованием интегрирования по частям.

5) . Обозначим:

(1)

(2)

Находим дифференциалы обеих частей равенства (1):

, т. е. (3)

Интегрируем равенство (2):

или (4)

С использованием формул (1) – (4), и применяя метод интегрирования по частям (2.3), получаем:

Решение примера 5 оформляется следующим образом:

6)

2.1.3. Определения и формулы к решению задач 191 – 200

Рациональная дробь имеет вид: , где – многочлены степени т и п соответственно. Если , то дробь называют правильной.

Доказано, что любую правильную рациональную дробь можно представить суммой дробей вида

Если корни (нули) знаменателя дроби, т. е. решения уравнения , действительные различные (простые), то правильная рациональная дробь имеет разложение: где – корни знаменателя; – некоторые коэффициенты, определение которых будет рассмотрено ниже на примере. В этом случае интеграл от рациональной дроби можно представить суммой интегралов вида

З а д а ч а 3. Найти интеграл .

Р е ш е н и е.

В числителе записан многочлен второй степени, а в знаменателе – третьей, значит, дробь правильная.

Решаем уравнение Получаем: . Корни знаменателя простые действительные, следовательно, подынтегральную дробь можно представить в виде:

(1)

Приведем правую часть равенства к общему знаменателю:

Дроби равны и равны знаменатели, значит, равны и числители:

или

Приравниваем коэффициенты при одинаковых степенях переменной х и свободные члены:

Решаем систему: После сложения двух последних уравнений находим: Итак, Выполните проверку.

С учетом уравнения (1) получаем:

2.1.4. Определения и формулы к решению задач 201 – 210

Определенный интеграл вычисляется по формуле Ньютона-Лейбница:

(2.4)

где – первообразная от функции ; – знак двойной подстановки.

Если (рис. 1), то площадь фигуры, ограниченной линиями вычисляется по формуле:

(2.5)

Рис. 1

З а д а ч а 4. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями

Р е ш е н и е.

– прямые линии, – парабола.

Абсциссы точек пересечения параболы с осью Ох находим из уравнения: и получаем: . Так как абсцисса вершины параболы равна , то в данной задаче и . Строим чертеж (рис. 2).

По формулам (2.5), (2.4) находим:

Рис. 2 = кв. ед.

Выполните проверку по чертежу (по клеточкам).

2.1.5. Определения и формулы к решению задач 211 – 220

Если направление действия силы (рис. 3) совпадает с прямолинейным перемещением [ a; b ], то работа силы

(2.6)

Рис. 3

З а д а ч а 5. Найти работу силы при перемещении материальной точки вдоль оси Ох на отрезке .

Р е ш е н и е.

По формуле (2.6) находим работу: