![]() |
Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | |
|
Одним из наиболее часто используемых вычислительных методов является метод итераций и различные его модификации.
Итерационные методы основаны на построении сходящейся к точному решению x* бесконечной рекуррентной последовательности x 0, x 1, …, xk ® x * при k ® ¥.
Последовательность называется рекуррентной порядка m, если каждый следующий ее член выражается через m предыдущих по некоторому правилу:
xk = j(xk -1, xk -2, …, xk - m). (6.1)
Такой метод называется m - шаговым. Для его реализации требуется задать m первых членов { x 0, x 1, …, xm -1}, называемых начальнымприближением. Зная начальное приближение, по формуле (6.1) последовательно находят xm, xm +1, …, xk, …. Процесс получения следующего k -го члена через предыдущие называется k -й итерацией. Итерации выполняются до тех пор, пока очередной член xk не будет удовлетворять заданной точности, т.е. пока не выполнится условие | xk - xk -1 | < e, где e – некоторая заданная малая величина. В качестве искомого решения берут последний член последовательности xk, при котором выполнилось указанное неравенство.
Чтобы использовать итерационный метод, исходную задачу преобразуют к виду, разрешенному относительно х:
x = j(x). (6.2)
При этом точное решение исходной задачи х * является и решением (6.2).
Используем выражение (6.2) в качестве рекуррентной формулы (m = 1):
xk = j(xk -1).
Далее, задав одно х 0(начальное приближение), последовательно находим x 1, x 2, …, xk. Если полученная таким образом последовательность сходится к некоторому конечному пределу, то этот предел совпадает с точным решением х *.
Математической моделью многих физических процессов является функциональная зависимость y = f (x). Поэтому задачи исследования различных свойств функции f (x) часто возникают в инженерных расчетах. Одной из таких задач является нахождение корней этого уравнения на заданном отрезке [ a, b ], т.е. таких значений х, при которых f (x) = 0.
На рис. 6.1 представлены три наиболее часто встречающиеся ситуации:
а) кратный корень:
б) простой корень:
в) вырожденный корень: не существует,
.
Рис. 6.1
Значения корней x 1* и x 3* (назовем их особенными) совпадают с точкой экстремума функции, и для их нахождения можно использовать либо методы поиска минимума функции, либо алгоритм поиска интервала, на котором находится «особенный» корень.
Обычно для нахождения корней уравнения применяются численные методы, и этот поиск осуществляется в два этапа.
1. Приближенное определение местоположения – этап отделения корней (нахождение грубых корней).
2. Вычисление выбранного корня с заданной точностью e.
Первая задача чаще всего решается графическим методом: на заданном отрезке [ a, b ] вычисляется таблица значений функции с некоторым шагом h, строится ее график, и определяются интервалы (a i, b i) – в дальнейшем [ a, b ] длиной h, на которых находятся корни.
Дата публикования: 2015-02-22; Прочитано: 305 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!