Симметричные распределения

Симметричным распределением называется распределение значений признака х, для которого среднее значение , мода и медиана совпадают. Поэтому показателем, характеризующим асимметричность распределения (нарушение симметрии) является коэффициент асимметрии A_s, вычисляемый по формуле:

или (1.10.4)

где – среднее значение,

– мода,

– медиана,

– среднеквадратическое отклонение.

Для симметричных распределений Положительный коэффициент асимметрии указывает на наличие правосторонней асимметрии, при которой . Отрицательный коэффициент асимметрии свидетельствует о левосторонней асимметрии, при которой .

Более точно коэффициент асимметрии эмпирического распределения вычисляется по формуле:

. (1.10.5)

На рис. 1.10.6 а и б изображены кривые соответственно с правосторонней и левосторонней асимметрией.

а) б)

Рис. 1.10.6. Кривые распределений

Оценка степени существенности коэффициента асимметрии производится с помощью средней квадратической ошибки, которая рассчитывается по формуле:

где n – объем выборки. Если

то асимметрия существенна, и распределение признака в генеральной совокупности не является симметричным. Если

то асимметрия несущественна, ее наличие может быть объяснено влиянием случайных факторов.

Для симметричных эмпирических распределений рассчитывается показатель эксцесса Еx по формуле:

(1.10.6)

Средняя квадратическая ошибка эксцесса рассчитывается по формуле:

где n – объем выборки.

Если

то эксцесс существенен, а если

то эксцесс несущественен, его наличие может быть объяснено влиянием случайных факторов.

В случае Еx >0 или Еx <0 распределение называется соответственно островершинным или плосковершинным.

На рис. 1.10.7 а) и б) изображены кривые островершинного и плосковершинного распределений.

Рис. 1.10.7. Кривые островершинного и плосковершинного

распределений

С помощью статистических функций СКОС и ЭКСЦЕСС в Excel вычисляются соответственно коэффициент асимметрии и эксцесс по несгруппированным значениям признака.

На рис. 1.10.8 изображен лист, на котором с помощью указанных функций вычислены коэффициент асимметрии и эксцесс распределения предприятий по товарной продукции, рассмотренного в примере 1.5.2. Эти коэффициенты указывают на левостороннюю асимметрию и плосковершинность распределения.

Рис. 1.10.8. Коэффициент асимметрии и эксцесс распределения

предприятий по товарной продукции

Упражнение 1.10.4. С помощью функций СКОС и ЭКСЦЕСС в Excel вычислите коэффициент асимметрии и эксцесс по данным примера 1.5.1. Сформулируйте выводы.