Уравнений в экономике

ЧАСТЬ III.

Некоторые приложения линейной алгебры

В экономике

Основные теоретические вопросы

1.Экономическая модель.

2.Эндогенные и экзогенные переменные.

3.Спрос. Функция спроса.

4.Предложение. Функция предложения.

5.Предельные величины.

6.Эластичность функции, коэффициент эластичности.

7.Ценовая эластичность.

8.Модель равновесия.

9.Межотраслевой баланс.

10. Продуктивная матрица.

11. Прибыль. Максимизация прибыли.

Типовые задачи

Применение матриц, систем линейных

уравнений в экономике

При планировании производства в масштабах отрасли, региона, страны, необходимо выдерживать баланс между отдельными отраслями и предприятиям, т.к. каждая отрасль с одной стороны – производитель своей продукции, а с другой стороны – потребитель продукции, выпускаемой другими производителями.

Рассмотрим производство охватывающее п отраслей, каждая из которых производит свой продукт. Производственное потребление заключается в том, что каждая отрасль нуждается в продукции других отраслей.

Введем следующие обозначения:

– общий объем продукции i -ой отрасли (ее валовой выпуск);

– объем продукции i -ой отрасли, потребляемой j -ой отраслью при производстве объема продукции ;

– объем продукции i -ой отрасли, предназначенный для реализации (потребления) в непроизводственной сфере (продукт конечного потребления).

Балансовый принцип связи различных отраслей промышленности состоит в том, что валовой выпуск i -ой отрасли должен быть равен сумме объемов потребления в производственной и непроизводственной сферах. Например, в линейной форме балансовые соотношения имеют вид системы уравнений:

Чаще всего используется стоимостной баланс. Связь между отраслями, как правило, отражается в таблицах межотраслевого баланса, а математическая модель, позволяющая их анализировать, разработана в 1936 г. американским экономистом, лауреатом Нобелевской премии В. Леонтьевым.

Основная задача межотраслевого баланса состоит в отыскании такого вектора валового выпуска Х, который при известной матрице прямых затрат А обеспечивает заданный вектор конечного продукта Y.

Объем потребления j -ой отраслью продукции i -ой отрасли при производстве своей продукции объема есть технологическая во времени постоянная .

При таком допущении технология производства принимается линейной, а числа а_у называются коэффициентами прямых затрат.

Обозначим – столбец объемов произведенной продукции (вектор валового выпуска), – столбец объемов конечного потребления, А – матрицу коэффициентов прямых затрат:

,

то = + . Это балансовые соотношения в матричной форме.

Данное соотношение называют уравнением линейного межотраслевого баланса или моделью Леонтьева. Чаще всего модель Леонтьева используют при планировании.

Для того, чтобы математическое решение модели имело экономический смысл необходимо чтобы все элементы модели Леонтьева были неотрицательны. Существует понятие продуктивности модели Леонтьева.

Матрица А, все элементы которой неотрицательные числа, называется продуктивной, если для любого вектора с неотрицательными компонентами существует решение уравнения = + – вектор , все компоненты которого неотрицательны.

Пусть Е – единичная матрица, тогда систему балансовых соотношений можно записать в виде

= .

Если существует обратная матрица , которая называется матрицей полных затрат, то существует и единственное решение уравнения = :

.

На практике пользуются следующим критерием продуктивности матрицы А: матрица А с неотрицательными элементами продуктивна, если сумма элементов, стоящих в любом ее столбце (строке) не превосходит единицы и хотя бы для одного столбца (строки) эта сумма меньше единицы. Второй критерий гласит: для того, чтобы матрица А была продуктивной, необходимо и достаточно, чтобы существовала матрица и ее элементы были неотрицательны.

Пример № 1. Швейный цех фабрики специализируется по выпуску изделий трех видов: платье, халат, юбка; при этом используется сырье трех типов: S₁, S₂, S₃. Объем расхода каждого типа сырья на 1 день и нормы расхода на одно изделие заданы таблицей:

Вид сырья	Нормы расхода сырья на одно изделие, усл. ед	Расход сырья на 1 день, усл.ед
платье	халат	юбка
S1
S2
S3

Записать условие задачи и ее математическую модель в матричной форме. Найти ежедневный план выпуска продукции.

Решение.

Пусть ежедневно фабрика выпускает х₁, платья, х₂ халатов и х₃ юбок. Нормы расхода сырья на одно изделие в соответствии с видами сырья задаются как соответствующие элементы матрицы А:

,

а расход сырья на один день по всем видам продукции – как вектор-столбец :

При таких обозначениях математическая модель задачи примет вид ,

где – вектор-столбец плановых показателей.

Решение в матричном виде следующее: . Найдем матрицу обратную для А. Найдем определитель матрицы А:

.

Вычислим алгебраические дополнения:

Тогда искомая обратная матрица имеет вид:

,

а ,

т.е. фабрика выпускает в день 200 платьев, 300 халатов и 200 юбок.

Ответ: 200 платьев, 300 халатов и 200 юбок.

Пример № 2. Предприятие выпускает пять видов изделий, согласно следующей таблице

Вид изделия	Количество изделия	Расход сырья, кг/изд.	Время изготовления, ч/изд.	Цена изделия, р./изд.

Найти ежедневные показатели: расход сырья, затраты рабочего времени, стоимость выпущенной продукции.

Решение.

На основе данных таблицы составим вектор-строку ассортимента изделия и матрицу

где элементы первого столбца, характеризуют расход сырья на изделие каждого вида, второго – расход времени, а третьего – цену изделия каждого вида.

Элементы матрицы R характеризуют производство и реализацию продукции в расчете на одно изделие. Полный объем производства соответствует произведению ´ R:

Ответ: расход сырья составляет 510 кг, затраты рабочего времени – 345 ч, выпущенная продукция будет стоить 12 200 р.

Пример № 3. Предприятие выпускает четыре вида изделий с использованием четырех видов сырья. Нормы расхода каждого вида сырья на каждый вид изделия заданы как элементы матрицы А, где столбцы соответствуют видам изделий, строки – видам сырья (например, число 7, стоящее в четвертой строке, третьем столбце, означает, что на изготовление третьего вида изделий расходуется 7 (кг) четвертого вида сырья) план ежедневного выпуска (шт.) каждого вида изделий задан вектором-столбцом , себестоимость (р./кг) каждого вида сырья задана вектором-столбцом , а затраты (р./кг) на доставку (транспортировку) сырья – вектором-столбцом :

Требуется найти:

1) затраты сырья каждого вида при заданном плане ;

2) общие затраты на сырье для каждого вида изделий и его доставку;

3) общие затраты на сырье и его доставку при условии заданного плана .

Решение.

1) Затраты сырья первого вида равны сумме произведений элементов первой строки матрицы А на соответствующие элементы вектора :

Аналогично можно найти затраты сырья других видов. Математическая модель задачи нахождения затрат сырья:

Таким образом, затраты сырья первого вида составят 340 кг, второго – 430 кг, третьего – 375 кг, четвертого – 465 кг.

2) Составим матрицу С затрат на приобретение сырья и его доставку (первый столбец – элементы вектора , второй – ) и умножим матрицу А на матрицу С:

.

Элементы первого столбца полученной матрицы соответствуют затратам на сырье для каждого вида изделий: 970, 1200, 1000 и 1240 р., второго – затратам на доставку: 34, 42, 36, и 47 р.

3) Составим вектор-строку из элементов вектор- столбца , тогда суммарные затраты на сырье и его доставку:

Ответ: затраты на сырье составят 99 000 р., на доставку -2657р.

Системы линейных уравнений широко используются в задачах экономики. Рассмотрим их применение на примере.

Пример № 4: Оптимальный план перевозок.

Вы являетесь предпринимателем: доставляем воду и мороженое в две торговые точки с двух складов. Потребность точек 200 и 300 единиц мороженого и воды соответственно.

Мороженого выпускают 350 ед., а воды 150.

Известны затраты на перевозку со складов до торговых точек.

продукция	Затраты на перевозку в торговые точки, ден. ед
1 (мороженое)
2 (вода)

Минимальные затраты на перевозку равны 7950 ден.ед. Найти оптимальный план доставки воды и мороженого в торговые точки с учетом минимальных затрат.

Решение.

Пусть x_1j – количество мороженого., поставляемого со склада j-ой торговой точке (i,j=1,2), а x_2j – количество воды., поставляемого со склада j-ой торговой точке (i,j=1,2)
Получаем систему

Решаем систему, например, методом Гаусса. (Рекомендуем сделать это студенту самостоятельно.) Найдем x₁₁=50, x₁₂=300, x₂₁=150, x₂₂=0 (Обращаем внимание на то, что ранг системы r =4, т.е. r=n, и система имеет единственное решение).