Лабораторная работа №4. Крутильный баллистический маятник

Цель работы: определение скорости пули при помощи крутильного баллистического маятника, изучение закона сохранения момента импульса.

Оборудование: установка, состоящая из крутильного маятника, пружинного пистолета и электронного блока, включающего в себя таймер и фотоэлектрический датчик для регистрации числа полных периодов колебаний, совершенных маятником. Крутильный маятник состоит из двух перпендикулярных массивных металлических стержней, вертикального и горизонтального, которые скрепляются между собой металлической муфтой (рис. 12). По горизонтальному стержню могут перемещаться два груза цилиндрической формы, массы которых известны, а на его концах закреплены контейнеры, заполненные пластилином. Угол поворота относительно положения равновесия измеряется в градусах по внешней шкале, размеченной на внешнем пластиковом коробе. Маятник подвешен на вертикальной металлической струне. Деформация струны создает момент упругих сил, возвращающий маятник в положение равновесия.

Пистолет представляет собой жестко закрепленную на установке трубку-ствол с внешней пружиной. После освобождения пружина выбрасывает пулю. Электронный блок включается нажатием клавиши «сеть». На панели расположены два табло: одно из них показывает число полных периодов колебаний маятника, а на другом высвечивается время, за которое эти периоды были совершены. После нажатия клавиши «сброс» происходит обнуление обоих табло электронного блока. Клавиша «пуск» переводит электронный блок в состояние ожидания. В это время следует сделать выстрел. Когда маятник в первый раз проходит через фотоэлектрический датчик, начинается отсчет времени и числа периодов колебаний. После нажатия на клавишу «стоп» и завершения маятником очередного периода табло высветит полное число периодов N и время t.

Рис. 12. Крутильный баллистический маятник. Основание (1), ножки (2), колонка (3), кронштейн (4) и (5), пистолет(6), пластиковый короб (7), шкала (8), фотоэлектрический датчик (9), чашечки (10), перемещаемые грузы (11), стержни (12), струны (13).

Теория эксперимента. После того как в маятник попадет пуля, он станет совершать колебания вокруг струны.

Предположим, что момент сил трения пренебрежимо мал и запишем уравнение движения маятника с помощью законов сохранения момента импульса и энергии. До удара абсолютное значение момента импульса пули массы m, движущейся со скоростью v, на расстоянии l до оси вращения крутильного маятника, равно L= . После столкновения момент количества движения пули переходит в момент количества движения маятника с пулей внутри, который совершает вращательное движение вокруг струны: . Из закона сохранения момента импульса следует, что:

. (1)

Здесь J₁ момент инерции маятника ml² – момент инерции пули относительно оси струны, ω – угловая скорость маятника.

Если пренебречь работой сил трения и сопротивления воздуха, то, согласно закону сохранения энергии, кинетическая энергия в момент столкновения должна быть равна потенциальной энергии упругой деформации проволоки при максимальном угле поворота :

, (2)

где D – постоянная момента упругих сил. Ее значение не известно, поэтому в дальнейших преобразованиях ее следует исключить. Из уравнений (1) и (2) получим выражение для скорости пули. Для этого выразим угловую скорость из уравнения (1):

; (3)

возведем ω в квадрат и подставим в уравнение (2):

. (4)

. (5)

Так как момент инерции пули, попавшей в чашечку маятника, во много раз меньше момента инерции самого маятника, то множитель в формуле (5) мы приблизительно будем считать равным , и тогда скорость можно будет рассчитать по формуле:

. (6)

Пусть пуля попала в маятник. Некоторое время она будет двигаться внутри пластилина, заполняющего его чашечку. Будем также считать, что время движения пули в пластилине во много раз меньше периода колебаний. Применим уравнение динамики вращательного движения:

(7)

к крутильному баллистическому маятнику, совершающему вращательное движение вокруг вертикальной струны. В уравнении (7) - момент импульса, - момент внешних сил. Проекция момента импульса на ось вращения (которая совпадает с направлением струны) равна:

. (8)

Производная по времени от этой величины равна проекции момента внешней силы на ту же ось, то есть моменту силы упругости струны:

. (9)

Знак «минус» означает, что направление момента силы упругости противоположно направлению угла поворота стержня. Уравнение движения маятника примет вид:

. (10)

Здесь α - угол поворота маятника, - угловое ускорение. Методы решения уравнений, вида (10) будут рассматриваться позднее, в курсе дифференциальных уравнений. Выполнив подстановку, можно убедиться, что тригонометрические функции sin(ω₀t) и cos(ω₀t) являются его решениями. Величина определяется свойствами маятника и называется собственной частотой колебаний. Период колебаний крутильного баллистического определяется по формуле:

. (11)

Недостатком этой формулы является то, что не известны момент инерции J₁ и постоянная D. Необходимо исключить эти две величины, а для этого поменять значение момента инерции маятника на новое, равное J₂, так чтобы изменился и период колебаний T₂. Переместим металлические грузы M на горизонтальном стержне. Постоянная момента упругих сил D останется неизменной. Периоды колебаний системы для двух положений грузов будут иметь вид:

, . (12)

Разность моментов инерции для этих положений определим как

. (13)

Из формул (12) следует: , . (14)

Из формул (12) также следует, что связь между периодами колебаний и моментами инерции маятника для двух положений имеет вид:

. (15)

Тогда для разности моментов инерции ΔJ будет выполняться равенство:

. (16)

Для J₁ и ΔJ будет выполняться соотношение, аналогичное (15):

, (17)

и тогда получим уравнение: . (18)

Найденное выражение для J₁ подставим в формулу (6) для квадрата скорости пули:

. (19)

Пользуясь теоремой Гюйгенса-Штейнера рассчитаем величину :

(20)

где J₀ момент инерции маятника, когда центры масс грузов совпадают с осью вращения (если только это возможно!). Разность между моментами инерции J₁ и J₂ определяется разностью квадратов расстояний R₁ и R₂ от центров масс грузов M до оси вращения маятника. Пусть для определенности R₁ > R₂, тогда

(21)

Тогда формула квадрата скорости полета пули перепишется в виде:

. (22)

Она содержит один неизвестный параметр D. Из формул (12) следует, что:

, (23)

или . (24)

Подставим это выражение в формулу (22), получим:

. (25)

Окончательно, получим формулу для расчета скорости пули:

. (26)

Формула (26) позволяет рассчитать скорость пули, если знать ее массу m, массы грузов, измерить периоды колебаний T₁ и T₂ в двух положениях R₁ и R₂, а также угол максимального отклонения α₀.

При выводе формулы (26) не учитывались силы трения и сопротивления воздуха. Чашечки маятника имеют достаточно большие поперечные размеры, поэтому часть кинетической энергии пули будет затрачена на работу против силы сопротивления воздуха и маятник не сможет отклониться на максимальный угол α₀. Затухание может проявить себя уже в первые четверть периода колебаний. Функциональная зависимость угла отклонения стержня от положения равновесия α от времени t при наличии затухания δ имеет вид:

. (27)

Рис. 13. Зависимость угла отклонения маятника от времени при наличии затухания.

График этой зависимости показан на рис. 13. Из-за потерь, спустя четверть периода колебаний, угол отклонения будет равен

. (28)

Если величина в (27) мала, то зависимость можно считать почти линейной, и если , то изменение угла отклонения за четверть периода будет в четыре раза меньше изменения этого же угла за полный период. При отсутствии потерь энергии, угол максимального отклонения должен быть больше на величину потерь за четверть периода:

. (30)