Теплопроводность тел с внутренними источниками тепла

Внутри тел могут протекать процессы, сопровождающиеся выделением или поглощением тепла. Выделение тепла имеет место при прохождении электрического тока, в тепловыделяющих элементах ядерных реакторов; выделение или поглощение тепла происходит при протекании химических реакций и т. д. Выделение или поглощение тепла в теле влияет на процесс теплопроводности в нём.

Интенсивность таких процессов характеризуют количеством тепла, выделяющимся в единицу времени в единице объёма тела, которое называют мощностью внутренних источников тепла q_υ, Вт/м³.

Рассмотрим для примера цилиндр (стержень) с равномерно распределенными внутренними источниками тепла, в котором тепло распространяется лишь в радиальном направлении (рис. 9.13.) и далее отводится через наружную поверхность.

Рис. 9.13. К вопросу теплопроводности тел с внутренними источниками тепла

Тепло, которое выделится в единицу времени в цилиндре с произвольным радиусом r и затем отведётся через его поверхность, равно:

(9.44)

а плотность теплового потока:

(9.45)

С другой стороны, согласно закону Фурье:

(9.46)

Приравнивая правые части двух последних уравнений, получим:

(9.47)

Интегрируя последнее выражение, найдем:

(9.48)

Подставляя значения переменных на границах стенки (t = t _ст при r = r _ст) и в центре (t = t ₀ при r = 0), получим:

(9.49)

Таким образом, температура на оси стержня t ₀ при данной температуре поверхности определяется интенсивностью объёмного тепловыделения.

Аналогичные соотношения можно получить и для других тел с внутренними источниками тепла.