Порядок выполнения работы. 1. Определить исходные данные сторон в игре, условия определения выигрыша

1. Определить исходные данные сторон в игре, условия определения выигрыша.

2. Построение платежной матрицы и матрицы выигрышей в условиях риска.

3. Построение матрицы риска, применение различных критериев принятия решений в условиях недостатка информации.

4. Определение экономического эффекта от принятия оптимальной стратегии.

5. Анализ результатов работы (оценка эффективности различных критериев принятия решений)

6. Сравнение результатов оптимальных решений при управлении производством

7. По результатам выполненной работы составляется отчет

1. Принятие решений в условиях риска

Стороны в игре

Производство (или "ПРИРОДА") – Случайная ежемесячная потребность в агрегатах для ремонта.

Организаторы производства (складское хозяйство) – фактическое количество агрегатов на складе.

Стратегии сторон представлены в таблице 1.

Результаты игры

Сочетание стратегий A_i и П_j является случайным и дает результат –выигрыш a_ij: положительный – прибыль, a_ij > 0; отрицательный – убыток a_ij < 0; нулевой a_ij = 0.

Условия определения выигрыша представлены в таблице 2.

Пример определения выигрыша для АТП:

а) сочетание стратегии А₂П₂:

а₂₂ = -2 (необходим один агрегат, на складе имеется один агрегат);

б) сочетание стратегий А₂П₄ (необходимы три агрегата, имеется на складе один):

а₂₄ = -4 = 1·2 (одно требование удовлетворено);

-2·3 (два требования не удовлетворены) = 2×6 = - 4

в) сочетание стратегий А₄П₄ (необходим один агрегат, на складе имеется 3):

а₄₂ = 0 = 1·2 (одно требование удовлетворено);

-2·1 (два агрегата не востребованы) = 2-×2 = 0

Определение выигрышей при сочетании всех возможных стратегий сторон А и П (a_ij) представлены в таблице 3 (платежной матрице).

Выбор стратегии организаторов складского хозяйства в условиях риска:

а) критерии выбора – максимальный средний выигрыш при i -й стратегии A_i;

б) средний выигрыш по каждой стратегии A_i:

(1)

Например, для стратегии А₁

Таблица 3

Платежная матрица

Пj   Ai	Необходимое число агрегатов при стратегиях	Минимальный выигрыш по стратегиям (минимумы строк), ai
П1	П2	П3	П4	П5
Имеющееся число агрегатов при стратегиях	А1			-3	-6	-9	-12	-12
А2		-1		-1	-4	-7	-7
А3		-2				-2	-2 max ai = =K1
А4		-3					-3
А5		-4	-1				-4
Максимальный выигрыш (максимумы столбцов)	bi

Результаты расчетов сводятся в матрицу выигрышей (таблица 4). Оптимальной стратегией организаторов складского хозяйства в примере является стратегия , предусматривающая хранение на складе 3 агрегатов.

Сравнение оптимальной стратегии со средневзвешенной потребностью в агрегатах

(2)

Средняя потребность в агрегатах: 1,7 ( 2) агрегата.

Оптимальный запас агрегатов: N₀ = 3 агрегата.

Определение экономического эффекта от использования оптимальной стратегии:

, (3)

где - выигрыш при оптимальной стратегии (иметь на складе 3 агрегата – таблица 4);

- то же при средневзвешенной потребности (по формуле 2 – 2 агрегата).

Таблица 4

Матрица выигрышей в условиях риска

Пj (nj) Ai(ni)	П1 (n1=0)	П2 (n1=1)	П3 (n1=2)	П4 (n1=3)	П5 (n1=5)	Средний выигрыш при стратегии,
A1 (n1=0)		-1,2	-1,8	-0,9	-1,2	-5,1
A2 (n2=1)	-0,1	0,8	-0,3	-0,4	0,7	-0,7
A3 (n3=2)	-0,2	0,4	1,2	0,1	-0,2	1,3
A4 (n4=3)	-0,3		0,9	0,6	0,3	1,5 =
A5 (n5=4)	-0,4	-0,4	0,6	0,5	0,8	1,1
Вероятности состояний, qj	0,1	0,4	0,3	0,1	0,1	-

Примечание: n_j – необходимо иметь на складе исправных агрегатов,

n_i – фактически имеется на складе исправных агрегатов.

Из таблицы 4 - =1,3.

.

2.Принятие решений в условиях неопределенности

Стороны и условия игры те же (таблица 1), вероятная потребность в замене агрегатов (состояние "ПРИРОДЫ") неизвестна, q_j =?

Методы принятия решения – снятие неопределенности состояния "ПРИРОДЫ", сведение неизвестных вероятностей к известным.

Согласно принципу недостаточного основания Лапласа:

- ни одному из состояний "ПРИРОДЫ" П_j не отдается предпочтения;

- для всех состояний принимается равная вероятность, т.е.

q₁ = q₂ = q₃ =... = q_n = . (4)

Для рассматриваемого примера n = 5, q_j = 0,2.

Далее для этого значения q = 0,2 расчет проводится по методике принятия решений в условиях риска (таблица 5).

Таблица 5

Матрица выигрышей в условиях неопределенности

Пj Ai	П1 (n1=0)	П2 (n2=1)	П3 (n3=2)	П4 (n4=3)	П5 (n5=5)	Средний выигрыш при стратегии,
A1 (n1=0)		-0,6	-1,2	-1,8	-2,4	-6,0
A2 (n2=1)	-0,2	0,4	-0,2	-0,8	-1,4	-2,2
A3 (n3=2)	-0,4	0,2	0,8	0,2	-0,4	0,4
A4 (n4=3)	-0,6		0,6	1,2	0,6	1,8
A5 (n5=4)	-0,8	-0,2	0,4	1,0	1,6	2,0 =
Вероятности состояний, qj	0,2	0,2	0,2	0,2	0,2	-

Проведенный таким образом расчет показывает, что при отсутствии информации о вероятной потребности в агрегатах запас необходимо увеличить на 33 % (4 агрегата вместо 3), что приводит к потере выигрыша по сравнению с оптимальным запасом при наличии информации на 26,6 % (выигрыш при А₅ 1, 1 вместо 1,5 при стратегии ).

3. Принятие решений с использованием специальных критериев

3.1. Максиминный критерий К₁ (критерий Вальда) обеспечивает выбор стратегии A_i, при которой в любых условиях гарантирован выигрыш, не меньший максиминного.

(5)

Для определения такой стратегии по платежной матрице (таблица 3) определяют для каждой стратегии организаторов производства A_i минимальный выигрыш a_i (минимум по строкам таблицы 3), т.е. Например, для стратегии А₁: = -12; для стратегии А₅: и т.д.

Выбирают ту стратегию, при которой минимальный выигрыш будет наибольшим. Из таблицы 3 (столбец a_i), имеем .

В примере такой стратегией является стратегия А₃ (иметь на складе 2 агрегата), для которой принцип максимина обеспечивает, в условиях отсутствия информации о состоянии природы q_i, гарантию от чрезвычайно больших потерь.

Для этой стратегии эффект будет на 13,3% ниже чем при оптимальной стратегии и наличии информации о вероятностях q_j.

Таким образом, максиминный критерий основан на наиболее пессимистической оценке возможных производственных ситуаций и гарантирует организаторам производства выигрыш не менее К₁.

3.2. Минимаксный критерий К_II (Сэвиджа) – обеспечивает выбор такой стратегии, при которой величина риска будет минимальной в наиболее неблагоприятных производственных условиях.

(6)

Для определения риска организаторов производства (сторона А) при применении стратегии А_i:

а) определяют по платежной матрице (таблица 3) выигрыш a_ij при заранее известном стороне А состоянии природы П_j. Например, если известно заранее, что в очередную смену потребуется при ремонте один агрегат (П₂), то наибольший выигрыш АТП буде получен, если на складе имеется именно один агрегат (А₂), т.е. a₂₂ = 2 = (b_i) _max; (max a_ij в каждом столбце для П_j);

б) определяют риск r, т.е. разницу между максимальным выигрышем при известном состоянии природы и использовании оптимальной стратегии и неизвестном состоянии природы, когда могут быть применены другие стратегии A_i

r_ij –(b_i) _max – a_ij. (7)

Например, при П₂ стратегии А₁ риск r₁₂ = b₂ – a₁₂ = 2 – (-3) = 5; при стратегии А₄ r₁₄ = b₂ – a₁₄ = 2 – 0 = 2 и т.д.;

в) полученные данные сводят в матрицу риска (таблица 6);

г) для каждой стратегии А_i определяют максимальный риск (последний столбец в матрице риска);

Таблица 6

Матрица риска

Пj Ai	П1	П2	П3	П4	П5	Максимум риска при Ai, rij
A1
A2
A3
A4
A5						4 = min = KII
bi

д) из всех стратегий организаторов производства выбирают ту, которая обеспечивает минимальное значение максимального риска.

В примере такой стратегией является А₅, т.е. иметь на складе 4 агрегата при K_II = 4.

При минимаксной стратегии величина риска будет минимальной в наиболее неблагоприятных условиях, т.е. предприятие гарантировано от чрезмерных потерь.

3.3. Промежуточный критерий пессимизма-оптимизма, K_III (критерий Гурвица):

(8)

или (9)

Рассмотрим порядок определения K_III.

Из платежной матрицы (таблица 3) для каждой стратегии A_i выбирается min a_ij и max a_ij.

На основании опыта или экспертизы устанавливается коэффициент d. Он тем больше, чем серьезнее последствия принимаемых решений 0 £ d £ 1.

Примеры расчета K_III приведены в таблица 7.

Таблица 7

Определение и значения критерия K_III

Ai	min aij	max aij	KIII при d
d = 0,3	d = 0,7
A1	-12		-3,6	-8,4
A2	-7		-0,7	-4,3
A3	-2		2,2	-0,2 = max = KIII
A4	-3		3,3	-0,3
A5	-4		4,2 = max = KIII	-0,4

3.4. Критерий Гермейера - K_IV.

Критерий ориентирован на выбор стратегии, обеспечивающей

(10)

Из матрицы выигрышей (таблица 4 и таблица 5) для каждой стратегии A_i выбирается min a_ij и заносятся в крайний правый столбец.

Затем по данному столбцу выбирается максимальное значение. В нашем случае (таблица 4), (таблица 5), что содействует стратегии А₃ (иметь на окладе 2 агрегата).

Для этой стратегии эффект будет также на 13,3 % ниже, чем при оптимальной стратегии и наличии информации о вероятностях q_j.

После проверки результатов расчетов преподавателем студент допускается для выполнения данной работы на ПЭВМ.

В заключении студент сравнивает результаты выбора оптимальных решений, выполненных самостоятельно и на ПЭВМ, и делает общие выводы.

По результатам лабораторной работы составляется отчет в соответствии с ЕСКД.

КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ

1. Максиминный критерий (Критерий Вальда).

2. Минимаксный критерий (критерий Сэвиджа).

3. Критерий пессимизма-оптимизма (критерий Гурвица).

4. Критерий Гермейера.

ЗАДАНИЯ К СРС

1. Что означает платежная матрица;

2. Что означает матрица риска.

3. Условия определения выигрыша в работе

СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ИСТОЧНИКОВ

1. Техническая эксплуатация автомобилей: Учебник для вузов /Под ред. Е.С.Кузнецова - 3-е. изд. перераб. и доп. - М.: Транспорт, 1991. -413 с.

2. Кабикенов С.Ж. Методические указания к лабораторным работам по курсу «Автосервис и фирменное обслуживание автомобилей» для студентов специальности 050713-«Транспорт, транспортная техника и технологии», КарГТУ. Караганда.2009. -32 с.

3. Венцель Е.С. Исследование операций. – М.: Советское радио, 1972.- 552 с.

Рассмотрено на заседании Кафедры АТ   "__ " ___________2010 г. Протокол № ___ Зав. кафедрой АТ _______д.т.н.,проф. М.К. Ибатов

Одобрено учебно-методическим бюро ТДФ Протокол №___ " ___ "_____________2010 г. Председатель учебно-методического бюро ТДФ ____________________ «___»_________2010 г.

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ