Елементи векторної алгебри

Координати вектора визначаються формулою , якщо задані точки і .

Вектори і можна додавати і віднімати , де і довільні сталі. Якщо вектори лінійно незалежні, то вони утворюють базис і вектор може бути розкладений по цьому базису: , де – деякі числа. Якщо вектори і колінеарні, то їх координати пропорційні: .

Скалярний добуток векторів і визначається ( , де - кут між векторами і . Якщо вектори задані координатами, то скалярний добуток ( . Умова перпендикулярності векторів: ( 0. Довжина вектора: . Кут між векторами і : . Проекція вектора на вектор : . Робота сили , яка прямолінійно переміщує матеріальну точку з початку в кінець вектора визначається формулою .

Векторним добутком векторів і є вектор , що задовольняє умовам: а) вектор б) довжина вектора обчислюється за формулою: , де - кут між векторами і ; в) утворюють праву трійку. Якщо вектори задані координатами, то векторний добуток обчислюється як . Площа трикутника АВС, для якого задані координати вершин, обчислюється як . Момент сили , прикладеної в точці , відносно точки визначається векторним добутком .

Мішаний добуток трьох векторів - це векторно-скалярний добуток , де . Три вектори компланарні, якщо вони належать одній площині або паралельним площинам. Умова компланарності трьох векторів: . Модуль мішаного добутку векторів дорівнює об’єму паралелепіпеда, побудованого на цих векторах. Об’єм піраміди . Знак вибираємо таким чином, щоб об’єм був додатним.

Задача 5. Перевірити колінеарність векторів , побудованих на векторах і , якщо .

Розв’язання: Знайдемо координати векторів :

.

Перевіримо умову колінеарності векторів:

Вектори не колінеарні, так як їх координати не пропорційні.

Задача 6. Задані координати вершин піраміди . Знайти:

а) Кут між ребрами та ; б) Площу грані ; в) Проекцію вектора на вектор , г) Довжину висоти піраміди, проведену з вершини , д) Яку трійку утворюють вектори , і ?

Дано: , , , .

Розв’язання:

Знайдемо координати векторів, на яких побудована піраміда: , , .

а) Тоді косинус кута між ребрами та :

. Маємо

б) Площу грані знайдемо, як половину модуля векторного добутку векторів та :

.

=

(кв.од.)

в) Проекцію на обчислюємо за формулою:

г) Об^’єм піраміди обчислимо, застосовуючи мішаний добуток векторів , і .

, (куб.од.)

Для знаходження висоти піраміди застосовуємо формулу

кв.од. і куб.од. Підставимо i в формулу для обчислення висоти:

(лін.од.)

д)Так як мішаний добуток векторів , то вони утворюють праву трійку.

Задача 7. Визначити при якому значенні b вектори i взаємно перпендикулярні.

Розв’язання: Запишемо вектори в координатній формі: . Знайдемо скалярний добуток цих векторів: . З умови перпендикулярності векторів: маємо

.

Задача 8. З^’ясувати, чи належать чотири точки , , і одній площині.

Розв’язання: Якщо 4 точки лежать в одній площині, то вектори , , належать цій площині, отже будуть компланарні.

Перевіримо це. Знайдемо координати цих векторів: , і їх мішаний добуток

Вектори компланарні, точки А, В, С, D лежать в одній площині.

Задача 9. Дані сила = (5;−1;2) і дві точки і . Треба знайти: а) Роботу сили , необхідну для переміщення тіла із точки в точку ; б) Момент сили відносно точки , якщо сила прикладена в точку .

Розв’язання:

а) Робота А сили визначається як скалярний добуток сили на вектор переміщення . Знайдемо координати вектора :

= (0 − 3; 2 − (−1); −2 −1) = (− 3; 3;−3)

Тоді = (5; –1; 2)×(–3; 3; –3) = 5 (–3) + (–1)×3 + 2 (–3) = = –15 –3 –6 = –24.

б) Момент сили відносно точки , якщо сила прикладена в точку визначається як векторний добуток сили на плече .

.