![]() |
Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | |
|
1.1.1 Елементи лінійної алгебри.
Числова матриця порядку
– таблиця чисел, розташованих в рядках і стовпцях. Визначник n-го порядку – число
, яке записується у вигляді
Визначник обчислюється за
формулою: =
i – фіксований індекс рядка.
Визначник 3-го порядку може обчислюватись за правилом трикутника або Саррюса. Дві матриці і
множаться за формулою:
. Обернена матриця
для матриці
існує, якщо
. Вона обчислюється за формулою:
, де
– транспонована матриця
. Матриця
складається з алгебраїчних доповнень до елементів матриці
. Обернена матриця для матриці третього порядку має вигляд:
,
де =
,
–алгебраїчні доповнення до елементів матриці
.
Обернену матрицю застосовують при розв’язуванні матричного рівняння: або
, де
,
,
,
– матриці, при цьому
. Розв’язком цих рівнянь є
або
.
Систему лінійних неоднорідних алгебраїчних рівнянь (СЛАР) можна розв’язувати за формулами Крамера, матричним методом, методом Гаусса та іншими. Розглянемо систему трьох лінійних рівнянь з трьома невідомими: Формули Крамера для неї:
, де
=
– визначник системи,
,
– визначники невідомих.
Матричний метод розв’язання СЛАР полягає в наступному: система записується матричним рівнянням: , де
– матриця системи,
– стовпець вільних членів,
– стовпець невідомих. Розв’язок системи знаходиться за формулою:
.
Метод Гаусса полягає в послідовному виключенні невідомих, система приводиться до трикутного виду (прямий хід), а потім, починаючи з останнього рівняння системи, послідовно знаходяться невідомі. Систему записують у вигляді розширеної матриці (це матриця системи до якої приєднується стовпець вільних членів), яку за допомогою елементарних перетворень рядків приводять до трикутного виду. Отриману матрицю записують у вигляді системи, яку розв’язують, починаючи з останнього рівняння.
Якщо вільні члени СЛАР одночасно рівні нулю, то маємо однорідну СЛАР. Якщо
, система має єдиний розв’язок – нульовий. У противному випадку – безліч розв’язків.
Наприклад, для системи трьох лінійних однорідних рівнянь з трьома невідомими, коли
, матимемо систему двох лінійних однорідних рівнянь з трьома невідомими:
, де
. Розв’язок цієї системи дають формули:
,
,
,
Теорема Кронекера-Капеллі дозволяє встановити сумісність системи лінійних неоднорідних алгебраїчних рівнянь.
Задача 1. Знайти обернену матрицю до матриці
. Результат перевірити, знайшовши добуток
.
Розв’язання: а) обчислимо , розкладаючи його по першому рядку:
. Обернена матриця існує.
б) знайдемо алгебраїчні доповнення кожного елемента матриці
в) складемо матрицю із алгебраїчних доповнень:
г) транспонуємо отриману матрицю:
д) останню матрицю помножимо на , тобто на (-1/5) і отримаємо обернену матрицю.
Перевірка.
Задача 2. Розв’язати матричне рівняння:
.
Розв’язання: Маємо де
Знаходимо то
існує і розв’язок рівняння буде
Знайдемо
. Алгебраїчні доповнення до елементів матриці
:
;
;
;
Запишемо обернену матрицю :
.
Задача 3. Розв’язати неоднорідну систему лінійних алгебраїчних рівнянь трьома способами: а) за формулами Крамера, б) матричним методом, в) методом Гаусса.
Розв’язання:
а) за формулами Крамера: Знайдемо визначники ,
,
,
. Обчислимо їх за правилом трикутників:
Послідовно замінюючи в D перший, другий і третій стовпець стовпцем вільних членів, знайдемо:
Δ
Δ
Δ
За формулами Крамера:
.
б) матричним методом: Нехай – матриця системи,
– матриця-стовпець невідомих,
– матриця-стовпець вільних членів:
.
Систему можна записати у вигляді: і розв’язок системи
. Матриця
є оберненою до матриці
. Знайдемо її.
Знайдемо алгебраїчні доповнення:
Обернена матриця:
тоді:
Розв’язок системи: ,
,
.
в) методом Гаусса: Запишемо розширену матрицю системи, приєднавши до матриці системи
стовпець вільних членів, і приведемо її до трикутного вигляду.
. Знак» означає перехід від однієї матриці до другої, за допомогою елементарних перетворень. Таких переходів отримали 3, вони пронумеровані. Перший перехід: 1-й рядок залишаємо без змін, до 2-го додаємо 1-й, помножений на (-2), до 3-го додаємо 1-й, помножений на (-1). Другий перехід: скорочуємо 3-й рядок на (-2) і міняємо місцями 2-й і 3-й рядки. Третій перехід: 1-й і 2-й рядки залишаємо без зміни, до 3-го додаємо 2-й, помножений на 4. Мета перетворень – отримати матрицю трикутного виду. Останню матрицю записуємо у вигляді системи:
.
З останнього рівняння отримаємо , з другого
, з першого
.
Задача 4. Знайти розв’язок систем лінійних однорідних рівнянь.
a)
Розв’язання: Визначник системи , тому система має єдиний розв’язок:
.
б)
Розв’язання: Визначник системи
Отже система має безліч розв’язків. Знайдемо загальний розв’язок системи. Третє рівняння є сумою перших двох рівнянь, тому його можна відкинути. Розглянемо систему двох рівнянь:
Застосуємо формули для знаходження розв’язку системи:
,
,
,
Дата публикования: 2015-02-18; Прочитано: 360 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!