Розв’язування

1. Обчислюємо геометричні характеристики заданого перерізу

Координати центра ваги перерізу

Оскільки фігура має вісь симетрії то центр ваги буде лежати на цій осі ().

Представимо дану складну фігуру у вигляді комбінації трьох простих: півкола (1) квадрата (2) та прямокутника з від’ємною площею (3) (рис. 1.7). Індекси вказують належність позначення до відповідної фігури.

Площі цих фігур

;

Загальна площа фігури

(м²).

Проведемо допоміжну вісь z. Відстані від координат центрів ваги цих площ до вісі z

;

;

.

Шукаємо координату фігури до допоміжної вісі z.

= = 0,218 (м).

Проводимо вісь z_с яка разом з віссю y_с утворює систему головних центральних осей

Рис. 1.7. Визначення центра ваги перерізу

1.2 Визначаємо головні моменти інерції перерізу

Моменти інерції окремих фігур в їхніх центральних осях

J_z1 =

J_y1 =

J_y2 = J_z2 = = = (м⁴);

J_z3 = =

J_y3 = =

Знаходимо координати центрів ваги С₁(a ₁; b ₁), С₂(a ₂; b ₂) та С₃ (a ₃; b ₃) в системі центральних осей z_с – y_с.

a₁ = a₂ = a ₃ = 0 (м),

b ₁ = y₁ – y_c = 0,364 – 0,218 = 0,146 (м),

b ₂ = y₂ – y_c = 0,15 – 0,218 = -0,068 (м),

b₃ = y₃ – y_c = 0,025 – 0,218 = -0,193 (м).

Центральні осьові моменти інерції перерізу

J_zс = J_z1 + b₁² ×А₁+ J_z2 + b₂² ×А₂ – J_z3 – b₃² ×А₃ = +0,146²×0,0353+ + + (-0,068)²×0,09 – – (-0,193)²*0,005 = (м⁴);

J_ус = J_у1 + a₁² ×А₁+ J_у2 + a₂² ×А₂ – J_y3 – a₃² ×А₃ =

= J_у1 + J_у2 – J_y3 = + – = (м⁴);

1.3 Визначаємо головні радіуси інерції перерізу

(м²);

(м²).

2. Будуємо нейтральну лінію та визначаємо небезпечні точки перерізу

Будуємо нейтральну лінію через відрізки, які вона відсікає на головних осях

(м);

(м);

де (м), (м) – координати точки прикладення сили Р в системі головних центральних осей z_с – y_с.

Відкладаємо в масштабі отримані відрізки та на осях та проводимо нейтральну лінію (рис. 1.8).

Небезпечні точки перерізу є найвіддаленішими від нейтральної лінії. Це точки А і В (рис. 1.8). Координати цих точок в системі z_с – y_с

т. А (точка максимального розтягу „+”) (м), (м);

т. В (точка максимального стиску „-”) (м), (м).

Рис. 1.8. Епюри нормальних напружень

3. Максимальне значення сили Р

3.1 Визначаємо допустимі напруження матеріалу стержня

Для чавуна СЧ 12 границі міцності при розтягу і стиску відповідно МПа, МПа (додаток Б, таблиця Б.5).

Задамося запасом міцності n = 4 (орієнтовні межі 3…5 для крихких матеріалів).

Допустимі напруження матеріалу становлять

(МПа);

(МПа).

3.2 Визначаємо максимально допустиме значення сили Р за умов міцності

;

.

Звідки

(Н);

(Н).

Приймаємо меншу за модулем силу:

Р_max = 1,07 МН.

3.3 Будуємо епюру нормальних напружень в перерізі

Оскільки ця епюра лінійна, то достатньо визначити напруження в двох точках, зокрема в точках А та В. При прийнятій силі Р = -1,07 МН (знак „-” показує, що вона стискаюча)

(МПа);

(МПа).

Будуємо епюру за отриманими значеннями, відкладаючи в масштабі відрізки (рис. 1.8) та візуально перевіряємо чи перетинає епюра нейтральну лінію в нулі.

3.4 Будуємо ядро перерізу

Проводимо характерні дотичні 1-1, 2-2... (нейтральні лінії) до перерізу. По координатам перетину з головними осями , визначаємо координати точки , прикладення сили Р, при якій буде реалізована ця дотична.

Використовуємо формули

; .

Для зручності результати обрахунків приводимо в вигляді таблиці 1.2

Таблиця 1.2

лінія	, м	, м	точка	, м	, м
1-1	-0,218	¥	Р1	0,065
2-2	¥	-0,15	Р2		0,048
3-3	0,294	-0,294	Р3	-0,048	0,025
4-4	0,232	¥	Р4	-0,061
5-5	0,294	0,294	Р5	-0,048	-0,025
6-6	¥	0,15	Р6		-0,048

З’єднуємо послідовно точки Р₁, Р₂,... Р₆ та заштрихуємо отриману область (рис. 1.9). Ядро перерізу побудовано.

Рис. 1.9. Побудова ядра перерізу

Питання до захисту розрахунково-графічної роботи (задача 7)

1. Записати рівняння нейтральної лінії при позацентровому розтягу-стиску.

2. Записати умову міцності при позацентровому розтягу-стиску.

3. Чому при позацентровому розтягу-стиску зазвичай записують дві умови міцності?

4. Визначити напруження в вказаній точці, використовуючи аналітичний та графічний (з епюр) способи.

5. Побудувати нейтральну лінію, якщо сила Р прикладена в вказаній точці.

6. Що таке ядро перерізу?

7. Для чого потрібно будувати нейтральну лінію?

8. В якій системі координат визначаються координати точок, що входять в розрахункові формули умов міцності?

9. В яких елементах конструкцій реалізуються деформації позацентровому розтягу-стиску – навести приклади.

10. За яким алгоритмом виконують розрахунки стержня при позацентровому розтягу-стиску?