Вопрос 8 Понятие устойчивости автоматической системы, критерии устойчивости

Устойчивость является необходимым условием работо­способности, т. е. система должна нормально функционировать и быть нечувствительной к различного рода внешним возмущениям.

Под устойчивостью систем автоматического управления понимается способность системы поддерживать заданное значение регулируемого параметра с определенной точностью и восстанавливать его после окончания переходного процесса.

Следовательно, по характеру переходного процесса можно судить об устойчивости системы (рис. 5.1). Если система устойчива (рис. 5.1а), то переходная характеристика lim h(t) =0. Если система неустойчива, т. е. когда lim h(t)=¥, то она не возвращается в состояние равновесия, из которого была выведена и может удаляться от состояния равновесия, либо совершать недопустимо большие колебания (рис. 5.1б). При этом известно, что при не­больших возмущениях система устойчива, а при больших воздействиях может оказаться неустойчивой.

Поэтому в общем случае, рассматривая нелинейные системы, вводится понятие устойчивости в «малом», в «большом» и в «целом».

Система устойчива в «малом», если известна область устойчивости, но неизвестны грани­цы этой области, в «большом», когда определены границы области устойчивости и в «целом», когда она возвращается в исходное состояние при любых начальных отклонениях, возмущениях. Устойчивость «в целом» для определенного класса нелинейности называют «абсолютной» устойчи­востью.

Исследование устойчивости САР целесообразно проводить в аналитическом виде, т. е. путем нахождения корней характеристического уравнения. Не приводя необходимых доказательств на основании теорем А. М. Ляпунова, следует отметить, что если все корни характеристического уравнения располагаются в левой полуплоскости комплексной плоскости (левее мнимой оси), то линейная система автоматического управления является устойчивой.

Очевидно, что мнимая ось является границей устойчивости. Система будет находиться на границе устойчивости при наличии нулевого корня, пары мнимых корней или бесконечно удаленного корня (p_i =¥).

Если в характеристическом уравнении свободный член равен нулю (а_n=0), то это говорит о наличии нулевого корня и такая система называется нейтрально уcтойчивой (рис. 5.1 в), так как она устойчива не относительно управляемой величины у, а скорости ее изменения dy/dt.

Очевидно, для определения устойчивости необязательно знать значение корней характеристического уравнения, достаточно убедиться в отрицательности вещественных частей корня. Методы, основанные на установлении факта их отрицательности, называются критериями устойчивости.

Критерии устойчивости

Критерий устойчивости — это математическая формулировка условий, которым удовлетворяют коэффициенты характеристического уравнения устойчивой системы.

В теории автоматического регулирования наибольшее распространение получили алгебраические критерии Рауса, Гурвица, Вышнеградского; частотные критерии Михайлова и Найквиста и критерии, основанные на использовании логарифмических частотных характеристик разомкнутой системы. С математической точки зрения все критерии устойчивости эквивалентны.

Рассмотрим подробнее названные критерии устойчивости.

Алгебраические критерии

Алгебраические критерии определяют совокупность алгебраических неравенств, описывающих связи между коэффициентами характеристического уравнения системы.

Критерий Гурвица был сформулирован швейцарским математиком Гурвицем и сводится к нахождению детерминированных неравенств из характеристического уравнения. Чтобы в характеристическом уравнении при а_о¹0 замкнутой системы все корни имели отрицательные вещественные части, необходимо и достаточно, чтобы удовлетворялись неравенства: при

a_о>0; D₁>0; D₂>0; D₃>0; D₄>0;...; D_n>0,

где

и т.д.

Следовательно, критерий Гурвица сводится к тому, что при а₀>0 должны быть больше нуля все п определителей, получаемых из квадратной матрицы коэффициентов.

Квадратная матрица из коэффициентов характеристического уравнения для замкнутой системы составляется следующим образом. По диагонали от верхнего левого угла до правого нижнего выписываются все коэффициенты, начиная с коэффициента с индексом 1 до коэффициента с индексом п. От каждого коэффициента, стоящего по главной диагонали, по вертикали вверх записываются коэффициенты с возрастающими индексами, а вниз - с убывающими. Места в матрице коэффициентов с индексами больше п и меньше 0 заполняются нулями.

Частотные критерии

Частотные критерии позволяют судить об устойчивости систем автоматического управления по виду их частотных характеристик. Эти критерии являются графоаналитическими и получили широкое применение, так как позволяют сравнительно легко исследовать устойчивость систем высокого порядка, обладают хорошей наглядностью.

Критерий Михайлова.

Этот критерий устойчивости был предложен советским ученым А. В. Михайловым и позволяет судить об устойчивости замкнутой системы на основании рассмотрения некоторой кривой.

Кривая Михайлова представляет собой годограф вектора (характеристический полином) получаемый из характеристического уравнения системы путем подстановки р = jw.

D(jw)=a_o(jw)ⁿ + a₁(jw)^n-1 + …+ a_n-1(jw) + a_n

Выделив в правой части последнего уравнения вещественную U (w) и мнимую V (w) части, можно записать D(jw) = U(w) +jV(w).

Формулировка критерия Михайлова сводится к следующему: чтобы замкнутая система автоматического управления была устойчива, необходимо и достаточно, чтобы кривая-Михайлова при изменении частоты w от 0 до ¥, начинаясь при w =0 на вещественной положительной полуоси, обходила только против часовой стрелки последовательно п квадрантов, уходя в бесконечность в последнем квадранте, где п — порядок характеристического уравнения.

На рис. 5.2 показаны типичные кривые Михайлова для устойчивых систем первого—пятого порядков с равным значением коэффициента а_п.

Признаком неустойчивости системы является нарушение числа и последовательности пройденных кривой Михайлова квадрантов плоскости [U;jV].

Критерий Найквиста. Этот частотный критерий был предложен американским ученым Найквистом для иссле­дования устойчивости усилителей с обратной связью и дает возможность определить устойчивость замкнутой системы по амплитудно-фазовой частотной характеристике W(jw) ее разомкнутой цепи, если удовлетворяется условие lim W(jw)=c (в частности, с=0). Преимущество критерия Найквиста состоит в том, что амплитудно-фазовая характеристика разомкнутой системы может быть построена не только расчетным путем, но и экспериментально. Если имеется передаточная функция разомкнутой системы, то подставляя в ее выражение p=jw, получаем частотную передаточную функцию разомкнутой системы

или

W (jw) = U (w) + jV (w) = А (w)е^jj(w),

где - модуль частотной передаточной функции;

j(w)= arctg V(w)/U(w) - фаза частотной передаточной функции.

Обычно для W(jw) выделяют в числителе и знаменателе действительную и мнимую части и избавляются от мнимости в знаменателе путем умножения чиcлителя и знаменателя на комплексно сопряженный знаменатель, т. е. если

Если изменять частоту w от -¥ до +¥, то вектор W(jw) будет меняться по величине и фазе, т. ё., вычис­ляя амплитуду и фазу при каждом значении w, можно построить на комплексной плоскости амплитудную фазовую частотную характеристику разомкнутой системы (рис. 5.3).

Если разомкнутая система устойчива, то критерий Найквиста формулируется: для устойчивости замкнутой системы необходимо и достаточно, чтобы амплитудно-фазовая частотная характеристика разомкнутой системы W(jw) при изменении частоты w от 0 до ¥ не охватывала точку с координатами [-1;j0].

Запас устойчивости системы

При оценке устойчивости систем необходимо определить величину запаса устойчивости, т. е. степень удаленности системы от границы устойчивости.

В случае применения критерия Гурвица запас устойчивости можно оценить по тому запасу, с которым выполняются входящие в этот критерий неравенства. При использовании критериев Михайлова и Найквиста запас устойчивости определяется удаленностью соответствующих характеристик от критического положения, при котором система находится на границе устойчивости. Для критерия Михайлова это будет удаленность годографа W(jw) от начала координат, а для критерия Найквиста—удаленность характеристики W (jw) от точки (-1; j0).

Основное распространение в качестве меры запаса устойчивости получили вытекающие из критерия Найквиста две величины: запас устойчивости по фазе Dj и запас устойчивости по амплитуде D А.

Запас устойчивости по амплитуде определяется величиной допустимого увеличения АЧХ, при котором система окажется на границе устойчивости.

Запас устойчивости по фазе определяется величиной Dj, на которую должно возрасти запаздывание по фазе в системе на частоте среза w _с, чтобы система оказалась на границе устойчивости. Для определения Dj проводится дуга радиусом 1 до пересечения с АФЧХ. При проектировании САУ рекомендуется выбирать Dj ³30° и DA ³0,7.

Вопрос 9. Качество процесса регулирования

Устойчивость САУ или CAP является необходимым, но еще не достаточным условием практической полезности системы. Например, устойчивая система при отработке задающих и возмущающих воздействий может оказаться недостаточно точной или переходные процессы в ней совершаются слишком медленно, иногда не обеспечивается необходимая плавность выхода системы и т. п. Следовательно, к системе должен быть предъявлен еще целый комплекс требований, который объединяется понятием качества процесса управления. Оценка качества САУ ведется по так называемым показателям качества или критериям качества, к которым относятся, в частности:

- точность системы в установившемся состоянии;

- качество переходного процесса (или показатели качества переходной характеристики).

Любая система независимо от своего назначения и конструкции должна осуществлять управление каким-либо объектом с определенной точностью, т. е. качество управления зависит от мгновенных (переходных) величин ошибки e (t), равных разности между заданными g(t) и фактическими y(t) значениями управляемой величины

e(t)=g(t)-y(t).

Возмущающие воздействия представляют собой случай­ные функции времени, поэтому оценка качества управления по мгновенным значениям ошибки e (t) практически не используется.

Единой объективной числовой оценки качества управ­ления пока не существует. Имеются лишь частичные оценки отдельных наиболее характерных режимов (установившегося режима по его ошибке и переходного режима по различным показателям).

Показатели качества переходных процессов

Одной из оценок качества регулирования служит оценка качества переходной характеристики САУ относительно задающего воздействия. Показатели качества переходной характеристики называются прямыми. Чем лучше переход­ная характеристика (в смысле качественных показателей), тем лучше система будет отрабатывать произвольное задающее воздействие.

Качество САУ по переходной характеристике оценивается обычно по следующим показателям (рис. 5.4 ): величине перерегулирования h; статической ошибке e, времени переходного процесса t _p; числу колебаний с (колебательность), степени затухания y.

Величина перерегулирования определяется по выражению:

где y ₁- амплитуда первого отклонения;

y ₀- значение задания.

Перерегулированием оценивают разность между макси­мальным значением y₁, переходной характеристики и значением задания y_о. Перерегулирование косвенно определяет также запас устойчивости. В большинстве случаев считается, что запас устойчивости является достаточным, если величина перерегулирования не превышает 10...30%.

Статическая ошибка

;

иногда берут значение абсолютной статической ошибки

d = y _уст – y ₀

Время переходного процесса t_р характеризует быстродействие системы, под которым понимается промежуток времени от начала приложения воздействия до вхождения y(t) в коридор у ₀ ± D, где D - допустимая динамическая погрешность. Обычно принимают D= 0,01...0,05 иногда до 0,2, т. е. переходной процесс в САУ считают закончившимся, когда y(t) отличается от своего установив­шегося значения не более чем на 1...5%. Обычно D выбирают равным 5%.

Период колебаний – время между двумя максимумами у(t) (или минимума) - Тк.

Колебательность или число колебаний за время переходного процесса определяется числом максимумов или числом минимумов за время t _п. Иногда колебательность оценивают отношением соседних максимумов переходной характеристики с=у₁/у₂, где y ₂ – амплитуда второго положительного отклонения. Если 1£ с £2, то запас устойчивости САУ считается достаточным.

Степень затухания

.

Всякая САУ кроме отработки задающего воздействия осуществляет и подавление возмущений. Поэтому качество регулирования оценивают также по переходной характеристике y(t)=y_f(t) системы по возмущению. Особенность этой характеристики состоит в том, что ее установившееся значение должно быть весьма мало в статической системе и равно нулю в астатической системе. Понятие перерегулирования для характеристики y_f(t) не имеет смысла и его оценивают непосредственно максимальным значением y_f(t) _макс.