Контрольная работа № 1. Задача 1. Завод выпускает 3 вида товаров р1, р2, р3

ЗАДАЧА 1. Завод выпускает 3 вида товаров Р ₁, Р ₂, Р ₃. Производство единицы товара Р_i требует потребления определенного количества а_ij,
i = 1, 2, 3, j = 1, 2, 3, каждого из имеющихся трех видов ресурсов R ₁, R ₂, R ₃. Требуется определить, какое количество x ₁, x ₂, x ₃ каждого товара может выпускать завод, потребив полностью заданное количество r ₁, r ₂, r ₃ ресурсов вида R ₁, R ₂, R ₃ соответственно. Составить систему линейных алгебраических уравнений, исследовать ее на совместность и решить тремя способами: а) матричным, б) с помощью формул Крамера, в) методом Гаусса. Значения а_ij и r_i (i = 1, 2, 3, j = 1, 2, 3) приведены в таблице 1.

Таблица 1

№

а 11

а 12

а 13

а 21

а 22

а 23

а 31

а 32

а 33

r 1

r 2

r 3

ЗАДАЧА 2. Найти каноническое уравнение линии, для каждой точки которой отношение расстояния до точки F (F_x, F_y) (фокус) к расстоянию до прямой х = А (директриса) есть величина постоянная, равная Е (эксцентриситет). Определить вид линии, сделать чертеж.

Все необходимые числовые данные по каждому варианту приведены в таблице 2.

Таблица 2

Номер варианта	Координаты фокуса F (Fx, Fy)	Директриса х = А	Эксцентриситет Е
	(-2, 0)	-22/3	3/5
	(4, 0)	28/3	3/5
	(-1, 1)	-19/3	3/5
	(0, 1)	-16/3	3/5
	(-3, 0)	-21/4	4/5
	(5, 0)	29/4	4/5
	(-2, 1)	-17/4	4/5
	(-1, 1)	-13/4	4/5
	(-4, 0)	-164/5	5/13
	(0, 0)	-144/5	5/13
	(0, 1)	144/5	5/13
	(-5, 1)	119/5	5/13
	(0, 5)	-64/6	3/5
	(1, 4)	-58/6	3/5
	(-1, 3)	58/6	3/5
	(6, 1)	21/5	5/4
	(4, 2)	11/5	5/4
	(0, 3)	9/5	5/4
	(0, 3)	-9/5	5/4
	(1, 2)	14/5	5/4
	(-1, 2)	-14/5	5/4
	(9, 3)	36/5	5/4
	(-1, 2)	4/5	5/4
	(-9, 3)	-36/5	5/4
	(6, 1)	14/5	5/3
	(4, 2)	4/5	5/3
	(0, 3)	16/5	5/3
	(0, 3)	-16/5	5/3
	(1, 2)	21/5	5/3
	(-1, 2)	-21/5	5/3
	(7, 5)
	(7, 1)
	(6, 3)
	(2, -2)	-6
	(3, 5)
	(1, 1)
	(-1, 2)
	(1, 3)	-1
	(2, 5)
	(-4, 0)	-2

ЗАДАЧА 3. Даны точки А (х ₁; у ₁; z ₁), В (х ₂; у ₂; z ₂), С (х ₃; у ₃; z ₃), D (х ₄; у ₄; z ₄), являющиеся вершинами треугольной пирамиды. Требуется:

1) записать уравнение плоскости ABC и представить его в общем виде и в отрезках, а также построить плоскость ABC, используя ее уравнение в отрезках;

2) вычислить угол между ребрами АВ и АС;

3) записать канонические уравнения прямой АВ;

4) найти площадь грани ABC;

5) вычислить объем пирамиды;

6) найти расстояние от точки D до ребра АВ и до грани ABC пирамиды.

Расчеты производить, округляя результаты до двух знаков после запятой.

Необходимые для расчетов данные приведены в таблице 3.

Таблица 3

Учебный номер	х 1	у 1	z 1	х 2	у 2	z 2	х 3	у 3	z 3	х 4	у 4	z 4
								-1	-3		-2
		-3			-1				-3
			-3								-3
		-3						-1				-5
	-2				-2			-1	-2
					-4	-1	-1				-4
									-3		-3
		-2									-3	-5
		-1								-2
								-2			-1
		-1				-4	-5		-3
		-1				-5			-2	-1
		-1									-2
		-1				-2			-5
				-4								-6
			-5	-2				-2			-1
		-6	-1		-1							-5
		-1						-3		-4	-1
					-5	-8					-4
		-3			-1				-5		-1
		-3			-1					-4
			-4	-2			-4
							-4		-2		-3	-5
					-1						-3
				-2	-2			-2
			-5		-4
			-3								-3
				-2			-2	-2			-3	-4
								-4			-2
		-2	-4				-4
		-1									-3	-5
					-2		-2	-2
				-4				-5
								-3
					-2			-2
	-2				-2						-1
					-4		-2					-5
					-4
		-2	-2								-4
		-4						-2

ЗАДАЧА 4. Фирма по производству одежды шьет мужские и женские пальто. На пошив одного мужского пальто требуется m ₁ чел./дней, женского – m ₂ чел./дней. Стоимость ткани для изготовления мужского пальто равна р ₁ у.е., женского – р ₂ у.е. Прибыль от одного мужского пальто составляет 3 у.е., женского – 2 у.е. Пошив пальто ограничен следующими обстоятельствами:

а) по контракту фирма должна сшить, по меньшей мере, n ₁ мужских пальто и n ₂ – женских;

б) на пошив пальто может быть затрачено не более К чел./дней;

в) затраты на материалы не должны превышать М у.е.;

г) прибыль должна быть не меньше Р у.е.

Используя данные таблицы 4, составить систему неравенств, удовлетворяющую ограничениям задачи.

Изобразить графически область допустимых значений количества производимых мужских и женских пальто, соответствующую ограничениям задачи, и указать одно из возможных значений этой области.

Таблица 4

№ варианта	m 1	m 2	р 1	р 2	n 1	n 2	К	М	Р

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ
ПО ВЫПОЛНЕНИЮ КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ

ЗАДАЧА 1 (вариант…). Завод выпускает 3 вида товаров Р ₁, Р ₂, Р ₃. Производство единицы товара Р_i требует потребления определенного количества a_ij, i = 1, 2, 3, j = 1, 2, 3 каждого из имеющихся трех видов ресурсов R ₁, R ₂, R ₃. Требуется определить, какое количество x ₁, x ₂, x ₃ каждого товара может выпускать завод, потребив полностью заданное количество r ₁, r ₂, r ₃ ресурсов вида R ₁, R ₂, R ₃ соответственно. Составить систему линейных алгебраических уравнений, исследовать ее на совместность и решить тремя способами: а) матричным, б) с помощью формул Крамера, в) методом Гаусса.

Решение. Пусть а ₁₁ = 21, а ₁₂ =31, а ₁₃ = 41, а ₂₁ = 15, а ₂₂ = 26, а ₂₃ = 25, а ₃₁ = 21, а ₃₂ = 15, а ₃₃ =17, r ₁ = 2432, r ₂ = 1684, r ₃ = 1232.

Система линейных алгебраических уравнений при данных значениях a_ij, r_i имеет вид:

Исследуем построенную систему на совместность. Для этого используем теорему Кронекера-Капелли. Основная матрица системы и расширенная матрица системы имеют вид:

Найдем ранги основной и расширенной матриц системы:

Таким образом, с помощью элементарных преобразований мы привели расширенную матрицу системы к трапециевидной. Так как число ненулевых диагональных элементов главного минора равно 3, то ранг расширенной и основной матриц (в данном случае) равен 3.

Тогда по теореме Кронекера-Капелли исходная система уравнений совместна, причем, так как и n = 3, то система имеет единственное решение. Найдем его тремя способами.

а) Матричный способ.

А ^-1 – обратная матрица к А, – столбец свободных членов.

Строим А ^-1.

1) Вычислим определитель матрицы А:

2) Строим матрицу из алгебраических дополнений к элементам матрицы А:

3) Транспонируем полученную матрицу А ¢, в результате получим присоединенную матрицу :

4) Тогда, обратная матрица А ^-1 будет иметь вид:

5) Проверим правильность построения обратной матрицы:

В итоге, обратная матрица построена верно. (Вообще говоря, необходимо также проверить А · А ^-1 = Е. Проверьте самостоятельно.)

Находим решение исходной системы:

Таким образом, исходная система имеет решение: х ₁ = 14, х ₂ = 24, х ₃ = 34.

б) Нахождение решения системы с помощью формул Крамера.

Формулы Крамера для нашей системы будут иметь вид:

где D = = –3384. Здесь D₁, D₂, D₃ – определители матриц А ₁, А ₂, А ₃, которые получаются из матрицы А заменой первого, второго и третьего столбцов на столбец свободных членов соответственно. Так как D ¹ 0, то решение системы единственное. Найдем определители системы D₁, D₂, D₃:

Следовательно,

в) Решение системы методом Гаусса.

Так как расширенная матрица системы приведена выше к виду , то исходная система уравнений равносильна системе:

Из последнего уравнения имеем, что

Подставим х ₃ в предпоследнее уравнение:

27 х ₂ – 30 · 34 = –372,

27 х ₂ – 1020 = –372,

27 х ₂ = 648,

х ₂ = 24.

Подставим х ₂ и х ₃ в первое уравнение:

21 х ₁ – 31 · 24 + 41 · 34 = 2432,

21 х ₁ + 2138 = 2432,

21 х ₁ = 294,

х ₁ = 14.

Таким образом, мы нашли решение исходной системы методом Гаусса:

х ₁ = 14, х ₂ = 24, х ₃ = 34.

Ответ: завод может выпустить 14 единиц товара первого вида,
24 единицы товара второго вида и 34 единицы товара третьего вида, потребив полностью заданное количество ресурсов.

ЗАДАЧА 2 (вариант …). Найти каноническое уравнение линии, для каждой точки которой отношение расстояния от точки F (–7, 2) (фокус) к расстоянию до прямой х = –26/5 (директриса) есть величина постоянная, равная Е = 5/4 (эксцентриситет). Определить вид линии, сделать чертеж.

Решение. Сделаем условный чертеж (см. рис. 1). В выбранной системе координат построим директрису, заданную уравнением х = –26/5, и фокус F (–7, 2).

Так как по условию эксцентриситет Е = 5/4 > 1, то искомой линией будет являться гипербола, и поскольку директриса х = –26/5 параллельна оси Oy, то ее каноническое уравнение будет иметь вид:

. (1)

Здесь точка М ₀(х ₀, у ₀) – центр гиперболы,

а – действительная полуось,

b – мнимая полуось.

Рис. 1

Примечания:

Если Е < 1, то искомой линией будет являться эллипс
с каноническим уравнением .

Если Е = 1, то искомой линией будет являться парабола с каноническим уравнением

Пусть М (х, у) – произвольная точка гиперболы, MF – расстояние от точки М до фокуса F, ММ ₁ – расстояние от точки М до директрисы. Тогда по условию задачи

. (2)

Вычислим MF и MM ₁.

Подставив найденные выражения в уравнение (2), получим:

Преобразуем полученное уравнение к виду (1). Для этого возведем обе части уравнения в квадрат, избавимся от знаменателя, и приведем подобные члены. Получим:

Выделим полный квадрат в первой скобке по переменной х, и произведем равносильные преобразования:

Разделив обе части уравнения на 144, получим:

Получив каноническое уравнение гиперболы с центром в точке
М ₀(–2, 2), а = 4 – действительная полуось, b = 3 – мнимая полуось, сделаем чертеж:

Рис. 2

На рис. 2 O¢ x¢ y¢ – новая система координат с началом О ¢ в точке
М ₀(–2, 2).

Ответ: – гипербола.

ЗАДАЧА 3 (вариант…). Даны точки А (х ₁; у ₁; z ₁), В (х ₂; у ₂; z ₂), С (х ₃; у ₃; z ₃), D (х ₄; у ₄; z ₄), являющиеся вершинами треугольной пирамиды. Требуется:

1) записать уравнение плоскости АВС и представить его в общем виде и в отрезках, а также построить плоскость АВС, используя ее уравнение в отрезках;

2) вычислить угол между ребрами АВ и АС;

3) записать канонические уравнения прямой АВ;

4) найти площадь грани АВС;

5) вычислить объем пирамиды;

6) найти расстояние от точки D до ребра АВ и до грани АВС пирамиды.

Решение. Пусть х ₁ =3, у ₁ = 1, z ₁ = 2, х ₂ = –2, у ₂ = 0, z ₂ = –4, х ₃ = 0, у ₃ = 8, z ₃ = 2, х ₄ = 4, у ₄ = 4, z ₄ = 0.

Тогда имеем вершины пирамиды:

А(3; 1; 2), В(–2; 0; –4), С(0; 8; 2), D(4; 4; 0).

Рис. 3

Обратим внимание, что строить пирамиду не обязательно, но для лучшего понимания задачи пусть пирамида АВСD имеет вид, приведенный на рис. 3.

1) По координатам точек А, В, С находим уравнение плоскости, проходящей через три заданные точки А, В, С:

Сократим на 2 полученное уравнение:

21(х – 3) + 9(у – 1) – 19(z – 2) = 0. (3)

(3) – уравнение плоскости АВС, заданной точкой А(3; 1; 2) и нормальным вектором = (21; 9; –19).

Раскрыв скобки в уравнении (3), получим требуемое общее уравнение плоскости АВС:

21 х – 63 + 9 у – 9 – 19 z + 38 = 0,
Þ 21 х + 9 у – 19 z – 34 = 0. (4)

Приведем данное уравнение плоскости (4) к виду уравнения плоскости в отрезках:

. (5)

(5) – уравнение плоскости АВС в отрезках, причем

Построим плоскость АВС, используя уравнение в отрезках (5):

Рис. 4

2) Угол между ребрами АВ и АС равен углу между векторами
и . Из скалярного произведения векторов и имеем:

Найдем координаты векторов и :

= (–2 – 3; 0 – 1; –4 – 2) = (–5; –1; –6),

= (0 – 3; 8 – 1; 2 – 2) = (–3; 7; 0).

Следовательно,

» 1,44 рад» 82°30¢.

3) Запишем канонические уравнения прямой АВ:

где (х ₀; у ₀; z ₀) – координаты точки М, через которую проходит прямая АВ;

(m; n; p) – координаты направляющего вектора прямой АВ. В данном случае в качестве точки М возьмем точку А(3; 1; 2) Î АВ. Следовательно, канонические уравнения прямой АВ имеют вид:

4) Найти площадь грани АВС. Грань АВС – треугольник. Из геометрического смысла векторного произведения двух векторов следует, что длина вектора [ ] численно равна площади параллелограмма, построенного на этих векторах. Следовательно, площадь ΔАВС будет вычисляться по формуле:

Значит,

5) Вычислим объем пирамиды АВСD. Объем пирамиды равен объема параллелепипеда, построенного на векторах . В свою очередь, объем параллелепипеда равен модулю смешанного произведения этих векторов. Найдем смешанное произведение векторов . Координаты векторов и найдены в п. 2. Найдем координаты вектора :

Следовательно,

Так как смешанное произведение больше нуля, то Þ V_пар = 172 (куб. ед.).

Таким образом,

(куб. ед.).

6) Найти расстояние от точки D до ребра АВ и до грани АВС пирамиды.

Расстояние от точки D до ребра АВ – это расстояние от точки D до прямой АВ. Воспользуемся формулой которая получается из формулы площади DADB с учетом формулы и формулы

В нашем случае вектор вектор
(см. выше). Находим длину вектора :

Находим далее векторное произведение :

Следовательно,

Тогда

Расстояние от точки D до грани АВС пирамиды – это расстояние от точки D до плоскости АВС. Для нахождения этого расстояния воспользуемся формулой:

где Ах + Ву + Сz + D = 0 – общее уравнение плоскости АВС, (х ₀; у ₀; z ₀) – координаты точки D.

В нашем случае общее уравнение плоскости АВС будет:

21 х + 9 у – 19 z – 34 = 0, где точка D(4; 4; 0).

Тогда

Ответы: 1) – уравнение плоскости АВС, – уравнение плоскости АВС в отрезках;

2) – угол между ребрами АВ и АС;

3) – канонические уравнения прямой АВ;

4) – площадь грани АВС;

5) – объем пирамиды АВСD;

6) – расстояние от точки D до ребра АВ; – расстояние от точки D до грани АВС.

ЗАДАЧА 4 (вариант…). Фирма по производству одежды шьет мужские и женские пальто. На пошив одного мужского пальто требуется
2 чел./дня, женского – 3 чел./дня. Стоимость ткани для изготовления мужского пальто равна 4 у.е., женского – 5 у.е. Прибыль от одного мужского пальто составляет 3 у.е., женского – 2 у.е. Пошив пальто ограничен следующими обстоятельствами:

а) по контракту фирма должна сшить, по меньшей мере, 6 мужских пальто и 4 – женских;

б) на пошив пальто может быть затрачено не более 120 чел./дней;

в) затраты на материалы не должны превышать 140 у.е.;

г) прибыль должна быть не меньше 30 у.е.

Составить систему неравенств, удовлетворяющую ограничениям задачи. Изобразить графически область допустимых значений количества производимых мужских и женских пальто, соответствующую ограничениям задачи, и указать одно из возможных значений этой области.

Решение. Пусть х – количество производимых мужских пальто, y – женских. Заметим, что х и у, по смыслу задачи, должны принимать только целые положительные значения. Составим систему неравенств, удовлетворяющую ограничениям задачи:

(6)

На рис. 5 изображена область допустимых значений количества производимых мужских и женских пальто, соответствующая ограничениям задачи. Эта область выделена штриховкой.

Заменим систему неравенств системой соответствующих равенств:

(7)

Каждое из уравнений системы равенств описывает множество точек плоскости О ху, принадлежащих прямой линии. В свою очередь каждая из прямых линий разбивает плоскость О ху на две части (полуплоскости). Решением соответствующего неравенства из системы (6) будет лишь одна из этих полуплоскостей. Для того, чтобы определить, какая из полуплоскостей будет решением, необходимо взять координаты любой точки плоскости О ху и подставить в соответствующее неравенство. Если в итоге получается верное неравенство, то полуплоскость, которой принадлежит данная точка, будет решением данного неравенства, если нет, – то противо-
положная полуплоскость. Как правило, для подстановки используется точка О(0; 0) – начало координат, если соответствующая прямая не проходит через О(0; 0), или любая другая точка, не лежащая на данной прямой линии.

Подставим координаты точки О(0; 0) в первые три неравенства системы (6).

1) 3 · 0 + 2 · 0 ³ 30 Þ 0 ³ 30 – неверно. Следовательно, решением данного неравенства является полуплоскость, которой не принадлежит начало координат. Так как неравенство не строгое, то сама граница (прямая линия) входит в множество решений неравенства.

Рис. 5

2) 2 · 0 + 3 · 0 £ 120 Þ 0 £ 120 – верно. Следовательно, решением данного неравенства является полуплоскость, которой принадлежит начало координат, включая границу.

3) 4 · 0 + 4 · 0 £ 140 Þ 0 £ 140 – верно. Следовательно, решением данного неравенства также является полуплоскость, которой принадлежит начало координат, включая границу.

4) Очевидно, что неравенство х ³ 6 определяет полуплоскость, включая границу (х = 6), которая находится правее прямой х = 6, а неравенство
у ³ 4 определяет полуплоскость, включая границу (у = 4), которая находится выше прямой у = 4.

Таким образом, мы решили каждое из неравенств системы (6). Осталось определить ту область, если она есть, плоскости О ху, в которой все пять неравенств одновременно имеют решение. Построим на плоскости О ху все пять линий системы (7), отметим стрелками направления решений каждого из неравенств системы (6), в результате получим область, которая является общей для всех пяти неравенств системы (6) (см. рис. 5). В нашем случае эта область представляет собой четырехугольник, который для наглядности выделен штриховкой.

Одно из возможных допустимых значений области – x = 15, y = 10.

Ответ: область допустимых значений количества производимых мужских и женских пальто представляет собой четырехугольник АВСD вместе с границами.

– одно из возможных допустимых значений области.

РЕКОМЕНДУЕМАЯ ЛИТЕРАТУРА

Высшая математика. Общий курс / Под ред. С. А. Самаля. – Мн.: Вышэйшая школа, 2000.

Марков Л. Н., Размыслович Г. П. Высшая математика. Ч. 1. – Мн., Амалфея, 1999.

Гусак А. А. Справочное пособие к решению задач. – Мн., ТетраСистемс, 1998.

Гусак А. А. Высшая математика. – Мн., ТетраСистемс, 1998.

Высшая математика для экономистов: Учеб. для вузов / Под ред.
Н. Ш. Кремера. – 2-е изд. – М.: ЮНИТИ, 2002.