Двойственная задача

Двойственная задача формулируется следующим образом.

Определить оценку единицы каждого вида ресурсов, чтобы при заданных объемах ресурсов b_i, прибыли c_j, минимизировать оценку всех ресурсов торгового предприятия, затраченных на организацию торгового процесса.

Запишем математическую модель двойственной задачи.

Определить = (у₁, у₂,..., у_m), который удовлетворяет ограничениям

y_i≥0

и доставляет минимальное значение целевой функции

Ограничения показывают, что стоимость всех ресурсов, затраченных из продажи единицы j группы товаров, должна быть не меньше прибыли, получаемой при реализации единицы j группы товаров, а общая стоимость всех ресурсов должна быть минимизировать.

Для симметричной пары задач двойственная задача по отношению к исходной составляется согласно следующим правилам.

1. Число переменных в двойственной задаче равно числу ограничений в прямой задаче.

2. Матрица коэффициентов системы ограничений двойственной задачи получается из матрицы коэффициентов системы ограничений прямой задачи путем транспонирования.

3. Система ограничений двойственной задачи записывается в виде неравенств противоположного смысла неравенствам системы ограничений прямой задачи.

4. Свободными членами системы ограничений двойственной задачи являются коэффициенты функции цели прямой задачи

5. На каждую переменную двойственной задачи накладывается условие не отрицательности

6. Двойственная задача решается на минимум, если целевая функция прямой задачи задается на максимум, и наоборот.

7. Коэффициентами функции цели двойственной задачи служат свободные члены системы ограничений прямой задачи.

Решение прямой задачи дает оптимальные объемы в структуру товарооборота торгового предприятия, а решение двойственной - оптимальную систему оценок ресурсов, используемых для реализации товаров.

Установим сопряженные пары переменных прямой и двойственной задач. Запишем переменные задач в двух строчках. В первой располагаем переменные x_j по порядку номеров: сначала основные, затем - дополнительные, а во второй строке запишем переменные двойственной задачи: сначала дополнительные, затем - основные.

Согласно сопряженным парам переменных из решения прямой задачи можно получить решение двойственной, не решая ее, и наоборот, из решения двойственной задачи можно получить решения прямой.

Составим, например, двойственную задачу к прямой задаче, которая решена выше симплексным методом.

Определить =(y₁, y₂, y₃), который удовлетворяет условиям - ограничениям:

и обеспечивает минимальное значение целевой функции =1100у₁+120у₂⁺8000у₃ →min

Таким образом оптимальный план двойственной задачи имеет вид:

=(23,75; 12,5; 0; 0; 0; 5,75) =27625 руб

Но этим данным проводится анализ оптимального плана двойственной задачи по оценке ресурсов, используемых для реализации товаров.

КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ

1. Как сформулировать экономическую постановку двойственной задачи к задаче планирования торгового процесса?

2. Как записывается математическая модель прямой и двойственной задач?

3. Каков план построения двойственной задачи?

4. Как определяется сопряженные пары переменных прямой и шейной задач?