Нечеткая логика

Классическая логика по определению не может оперировать с нечетко очерченными понятиями, поскольку все высказывания в формальных логических системах могут иметь только два взаимоисключающих состояния: «истина» со значением истинности «1» и «ложь» со значением истинности «0». Одной из попыток уйти от двузначной бинарной логики для описания неопределенности было введение Лукашевичем трехзначной логики с третьим состоянием «возможно» со значением истинности «0,5». Введя в рассмотрение нечеткие множества, Заде предложил обобщить классическую бинарную логику на основе рассмотрения бесконечного множества значений истинности. В предложенном Заде варианте нечеткой логики множество значений истинности высказываний обобщается до интервала 0; 1, т.е. включает как частные случаи классическую бинарную логику и трехзначную логику Лукашевича. Такой подход позволяет рассматривать высказывания с различными значениями истинности и выполнять рассуждения с неопределенностью.

Нечеткое высказывание – это законченная мысль, об истинности или ложности которой можно судить только с некоторой степенью уверенности 0; 1: «возможно истинно», «возможно ложно» и т.п. Чем выше уверенность в истинности высказывания, тем ближе значение степени истинности к 1. В предельных случаях 0, если мы абсолютно уверены в ложности высказывания, и 1, если мы абсолютно уверены в истинности высказывания, что соответствует классической бинарной логике. В нечеткой логике нечеткие высказывания обозначаются так же, как и нечеткие множества: A, B, C …. Введем нечеткое отображение T: Ω → 0; 1, которое действует на множестве нечетких высказыванийΩ = A, B, C …. В этом случае значение истинности высказывания A ∈ Ω определяется как T A ∈ 0; 1 и является количественной оценкой нечеткости, неопределенности, содержащейся в высказывании A.

Логическое отрицание нечеткого высказывания A обозначается A – это унарная (т.е. производимая над одним аргументом) логическая операция, результат которой является нечетким высказыванием «не A», «неверно, что A», значение истинности которого:

T A = 1 − T A.

Помимо приведенного выше исторически принятого основного определения нечеткого логического отрицания (нечеткого «НЕ»), введенного Заде, могут использоваться следующие альтернативные формулы:

T A = 1 − T A 1 + λT A, λ > − 1, – нечеткое λ -дополнение по Сугено;

T A = 1 − T A p, p > 0, – нечеткое p -дополнение по Ягеру.

Логическая конъюнкция нечетких высказываний A и B обозначается A ∩ B – это бинарная (т.е. производимая над двумя аргументами) логическая операция, результат которой является нечетким высказыванием «A и B», значение истинности которого:

T A ∩ B = min T A; T B.

Помимо приведенного выше исторически принятого основного определения логической конъюнкции (нечеткого «И»), введенного Заде, могут использоваться следующие альтернативные формулы:

T A ∩ B = T A T B – в базисе Бандлера-Кохоута;

T A ∩ B = max T A + T B − 1; 0 – в базисе Лукашевича-Гилеса;

T A ∩ B = T B, при T A = 1; T A, при T B = 1; 0, в остальных случаях; – в базисе Вебера.

Логическая дизъюнкция нечетких высказываний A и B обозначается A ∪ B – это бинарная логическая операция, результат которой является нечетким высказыванием «A или B», значение истинности которого:

T A ∪ B = max T A; T B.

Помимо приведенного выше исторически принятого основного определения логической дизъюнкции (нечеткого «ИЛИ»), введенного Заде, могут использоваться следующие альтернативные формулы:

T A ∪ B = T A + T B − T A T B – в базисе Бандлера-Кохоута;

T A ∪ B = min T A + T B; 1 – в базисе Лукашевича-Гилеса;

T A ∪ B = T B, при T A = 0; T A, при T B = 0; 1, в остальных случаях; – в базисе Вебера.

Нечеткая импликация нечетких высказываний A и B обозначается A ⊃ B – это бинарная логическая операция, результат которой является нечетким высказыванием «из A следует B», «если A, тоB», значение истинности которого:

T A ⊃ B = max min T A; T B; 1 − T A.

Помимо приведенного выше исторически принятого основного определения нечеткой импликации, введенного Заде, могут использоваться следующие альтернативные определения нечеткой импликации, предложенные различными исследователями в области теории нечетких множеств:

T A ⊃ B = max 1 − T A; T B – Гедель;

T A ⊃ B = min T A; T B – Мамдани;

T A ⊃ B = min 1; 1 − T A + T B – Лукашевич;

T A ⊃ B = min 1; T B T A, T A > 0 – Гоген;

T A ⊃ B = min T A + T B; 1 – Лукашевич-Гилес;

T A ⊃ B = T A T B – Бандлер-Кохоут;

T A ⊃ B = max T A T B; 1 − T A – Вади;

T A ⊃ B = 1, T A ≤ T B; T B, T A > T B; – Бауэр.

Общее число введенных определений нечеткой импликации не ограничивается приведенными выше. Большое количество работ по изучению различных вариантов нечеткой импликации обусловлено тем, что понятие нечеткой импликации является ключевым при нечетких выводах и принятии решений в нечетких условиях. Наибольшее применение при решении прикладных задач нечеткого управления находит нечеткая импликация Заде.

Нечеткая эквивалентность нечетких высказываний A и B обозначается A ≡ B – это бинарная логическая операция, результат которой является нечетким высказыванием «A эквивалентно B», значение истинности которого:

T A ≡ B = min max T A; T B;max T A; T B.

Так же, как в классической бинарной логике, в нечеткой логике с помощью рассмотренных выше логических связок можно формировать достаточно сложные логические высказывания.

2.7. Системы нечеткого вывода

Понятие нечеткого вывода занимает центральное место в нечеткой логике и в теории нечеткого управления. Говоря о нечеткой логике в системах управления, можно дать следующее определение системы нечеткого вывода.

Система нечеткого вывода – это процесс получения нечетких заключений о требуемом управлении объектом на основе нечетких условий или предпосылок, представляющих собой информацию о текущем состоянии объекта.

Этот процесс соединяет в себе все основные концепции теории нечетких множеств: функции принадлежности, лингвистические переменные, методы нечеткой импликации и т.п. Разработка и применение систем нечеткого вывода включает в себя ряд этапов, реализация которых выполняется на основе рассмотренных ранее положений нечеткой логики (рис.2.18).

Рис.2.18. Диаграмма процесса нечеткого вывода в нечетких САУ

База правил систем нечеткого вывода предназначена для формального представления эмпирических знаний экспертов в той или иной предметной области в форме нечетких продукционных правил. Таким образом, база нечетких продукционных правил системы нечеткого вывода – это система нечетких продукционных правил, отражающая знания экспертов о методах управления объектом в различных ситуациях, характере его функционирования в различных условиях и т.п., т.е. содержащая формализованные человеческие знания.

Нечеткое продукционное правило – это выражение вида:

(i):Q;P;A═>B;S,F,N,

где (i) – имя нечеткой продукции, Q – сфера применения нечеткой продукции, P – условие применимости ядра нечеткой продукции, A═>B – ядро нечеткой продукции, в котором A – условие ядра (или антецедент), B – заключение ядра (или консеквент), ═> – знак логической секвенции или следования, S – метод или способ определения количественного значения степени истинности заключения ядра, F – коэффициент определенности или уверенности нечеткой продукции, N – постусловия продукции.

Сфера применения нечеткой продукции Q описывает явно или неявно предметную область знания, которую представляет отдельная продукция.

Условие применимости ядра продукции P представляет собой логическое выражение, как правило предикат. Если оно присутствует в продукции, то активизация ядра продукции становится возможной только в случае истинности этого условия. Во многих случаях этот элемент продукции может быть опущен или введен в ядро продукции.

Ядро A═>B является центральным компонентом нечеткой продукции. Оно может быть представлено в одной из более распространенных форм: «ЕСЛИ A ТО B», «IF A THEN B»; где A и B – некоторые выражения нечеткой логики, которые наиболее часто представляются в форме нечетких высказываний. В качестве выражений могут использоваться и составные логические нечеткие высказывания, т.е. элементарные нечеткие высказывания, соединенные нечеткими логическими связками, такими как нечеткое отрицание, нечеткая конъюнкция, нечеткая дизъюнкция.

S – метод или способ определения количественного значения степени истинности заключения B на основе известного значения степени истинности условия A. Данный способ определяет схему или алгоритм нечеткого вывода в продукционных нечетких системах и называется методом композиции или методом активации.

Коэффициент уверенности F выражает количественную оценку степени истинности или относительный вес нечеткой продукции. Коэффициент уверенности принимает свое значение из интервала [0;1] и часто называется весовым коэффициентом нечеткого правила продукции.

Постусловие нечеткой продукции N описывает действия и процедуры, которые необходимо выполнить в случае реализации ядра продукции, т.е. получения информации об истинности B. Характер этих действий может быть самым различным и отражать вычислительный или иной аспект продукционной системы.

Согласованное множество нечетких продукционных правил образует нечеткую продукционную систему. Таким образом, нечеткая продукционная система– это относящийся к определенной предметной области список нечетких продукционных правил «IF A THEN B».

Простейший вариант нечеткого продукционного правила:

ПРАВИЛО <#>: ЕСЛИ β 1 «ЕСТЬ ά 1» ТО «β 2 ЕСТЬ ά 2»

RULE <#>: IF «β 1 IS ά 1» THEN «β 2 display:block IS ά 2».

Антецедент и консеквент ядра нечеткой продукции может быть сложным, состоящим из связок «И», «ИЛИ», «НЕ», например:

ПРАВИЛО <#>: ЕСЛИ «β 1 ЕСТЬ ά» И «β 2 ЕСТЬ НЕ ά» ТО «β 1 ЕСТЬ НЕ β 2»

RULE <#>: IF «β 1 IS ά» AND «β 2 IS NOT ά» THEN «β 1 IS NOT β 2».

Наиболее часто база нечетких продукционных правил представляется в форме согласованного относительно используемых лингвистических переменных структурированного текста:

ПРАВИЛО_1: ЕСЛИ «Условие_1» ТО «Заключение_1» (F 1 т),

...

ПРАВИЛО_n: ЕСЛИ «Условие_n» ТО «Заключение_n» (F n),

где F i ∈ [0;1] является коэффициентом определенности или весовым коэффициентом соответствующего правила. Согласованность списка означает, что в качестве условий и заключений правил могут использоваться только простые и составные нечеткие высказывания, соединенные бинарными операциями «И», «ИЛИ», при этом в каждом из нечетких высказываний должны быть определены функции принадлежности значений терммножества для каждой лингвистической переменной. Как правило, функции принадлежности отдельных термов представляют треугольными или трапецеидальными функциями. Для наименования отдельных термов принято использовать следующие сокращения.

Таблица 2.3.

Пример. Имеется наливная емкость (бак) с непрерывным управляемым притоком жидкости и непрерывным неуправляемым расходом жидкости. База правил системы нечеткого вывода, соответствующая знаниям эксперта о том, какой необходимо выбрать приток жидкости чтобы уровень жидкости в баке оставался средним, будет выглядеть следующим образом:

ПРАВИЛО <1>:	ЕСЛИ «уровень жидкости малый»	И «расход жидкости большой»	ТО «приток жидкости	большой средний малый	»;
ПРАВИЛО <2>:	ЕСЛИ «уровень жидкости малый»	И «расход жидкости средний»	ТО «приток жидкости	большой средний малый	»;
ПРАВИЛО <3>:	ЕСЛИ «уровень жидкости малый»	И «расход жидкости малый»	ТО «приток жидкости	большой средний малый	»;
ПРАВИЛО <4>:	ЕСЛИ «уровень жидкости средний»	И «расход жидкости большой»	ТО «приток жидкости	большой средний малый	»;
ПРАВИЛО <5>:	ЕСЛИ «уровень жидкости средний»	И «расход жидкости средний»	ТО «приток жидкости	большой средний малый	»;
ПРАВИЛО <6>:	ЕСЛИ «уровень жидкости средний»	И «расход жидкости малый»	ТО «приток жидкости	большой средний малый	»;
ПРАВИЛО <7>:	ЕСЛИ «уровень жидкости большой»	И «расход жидкости большой»	ТО «приток жидкости	большой средний малый	»;
ПРАВИЛО <8>:	ЕСЛИ «уровень жидкости большой»	И «расход жидкости средний»	ТО «приток жидкости	большой средний малый	»;
ПРАВИЛО <9>:	ЕСЛИ «уровень жидкости большой»	И «расход жидкости малый»	ТО «приток жидкости	большой средний малый	».

Используя обозначения ZP – «малый», PM – «средний», PB – «большой», данную базу нечетких продукционных правил можно представить в виде таблицы, в узлах которой находятся соответствующие заключения о требуемом притоке жидкости:

Таблица 2.4.

Расход Уровень   ZP PM PB ZP PM ZP ZP PM PM PM ZP PB PB PB PM

Фаззификация (введение нечеткости) – это установка соответствия между численным значением входной переменной системы нечеткого вывода и значением функции принадлежности соответствующего ей терма лингвистической переменной. На этапе фаззификации значениям всех входным переменным системы нечеткого вывода, полученным внешним по отношению к системе нечеткого вывода способом, например, при помощи датчиков, ставятся в соответствие конкретные значения функций принадлежности соответствующих лингвистических термов, которые используются в условиях (антецедентах) ядер нечетких продукционных правил, составляющих базу нечетких продукционных правил системы нечеткого вывода. Фаззификация считается выполненной, если найдены степени истинности μ A (x) всех элементарных логических высказываний вида «β ЕСТЬ ά», входящих в антецеденты нечетких продукционных правил, где ά – некоторый терм с известной функцией принадлежности μ A (x), a – четкое численное значение, принадлежащее универсуму лингвистической переменной β.

Пример. Формализация описания уровня жидкости в баке и расхода жидкости проведена при помощи лингвистических переменных, в кортеже которых содержится по три нечетких переменных, соответствующих понятиям малого, среднего и большого значения соответствующих физических величин, функции принадлежности которых представлены на рис.2.19.

Треугольный Трапециевидный Z-линейный S-линейный
Треугольный Трапециевидный Z-линейный S-линейный
Треугольный Трапециевидный Z-линейный S-линейный
Текущий уровень:

Треугольный Трапециевидный Z-линейный S-линейный
Треугольный Трапециевидный Z-линейный S-линейный
Треугольный Трапециевидный Z-линейный S-линейный
Текущий расход:

Рис.2.19. Функции принадлежностей кортежей лингвистических переменных, соответствующих нечетким понятиям малого, среднего, большого уровня и расхода жидкости соответственно

Если текущие уровень и расход жидкости 2.5 м и 0.4 м 3 /cек соответственно, то при фаззификации получаем степени истинности элементарных нечетких высказываний:

· «уровень жидкости малый» – 0.75;

· «уровень жидкости средний» – 0.25;

· «уровень жидкости большой» – 0.00;

· «расход жидкости малый» – 0.00;

· «расход жидкости средний» – 0.49;

· «расход жидкости большой» – 1.00.

Агрегирование – это процедура определения степени истинности условий по каждому из правил системы нечеткого вывода. При этом используются полученные на этапе фаззификации значения функций принадлежности термов лингвистических переменных, составляющих вышеупомянутые условия (антецеденты) ядер нечетких продукционных правил.

Если условие нечеткого продукционного правила является простым нечетким высказыванием, то степень его истинности соответствует значению функции принадлежности соответствующего терма лингвистической переменной.

Если условие представляет составное высказывание, то степень истинности сложного высказывания определяется на основе известных значений истинности составляющих его элементарных высказываний при помощи введенных ранее нечетких логических операций в одном из оговоренных заранее базисов.

Например, с учетом полученных в результате фаззификации значений истинности элементарных высказываний, степень истинности условий для каждого составного правила системы нечеткого вывода по управлению уровнем жидкости в баке, в соответствии с определением по Заде нечеткого логического «И» двух элементарных высказываний A, B: T(A ∩ B)=min{T(A);T(B)}, будет следующей.

ПРАВИЛО <1>: антецедент – «уровень жидкости малый» И «расход жидкости большой»; степень истинности
антецедента min{0.75;1.00}=0.75.

ПРАВИЛО <2>: антецедент – «уровень жидкости малый» И «расход жидкости средний»; степень истинности
антецедента min{0.75;0.50}=0.49.

ПРАВИЛО <3>: антецедент – «уровень жидкости малый» И «расход жидкости малый», степень истинности
антецедента min{0.75;0.00}=0.00.

ПРАВИЛО <4>: антецедент – «уровень жидкости средний» И «расход жидкости большой», степень истинности
антецедента min{0.25;1.00}=0.25.

ПРАВИЛО <5>: антецедент – «уровень жидкости средний» И «расход жидкости средний», степень истинности
антецедента min{0.25;0.50}=0.25.

ПРАВИЛО <6>: антецедент – «уровень жидкости средний» И «расход жидкости малый», степень истинности
антецедента min{0.25;0.00}=0.00.

ПРАВИЛО <7>: антецедент – «уровень жидкости большой» И «расход жидкости большой», степень истинности
антецедента min{0.00;1.00}=0.00.

ПРАВИЛО <8>: антецедент – «уровень жидкости большой» И «расход жидкости средний», степень истинности
антецедента min{0.00;0.50}=0.00.

ПРАВИЛО <9>: антецедент – «уровень жидкости большой» И «расход жидкости малый», степень истинности
антецедента min{0.00;0.00}=0.00.

Расход Уровень   0.75 0.25           0.49 0.49 0.25     0.75 0.25

Активизация в системах нечеткого вывода – это процедура или процесс нахождения степени истинности каждого из элементарных логических высказываний (подзаключений), составляющих консеквенты ядер всех нечетких продукционных правил. Поскольку заключения делаются относительно выходных лингвистических переменных, то степеням истинности элементарных подзаключений при активизации ставятся в соответствие элементарные функции принадлежности.

Если заключение (консеквент) нечеткого продукционного правила является простым нечетким высказыванием, то степень его истинности равна алгебраическому произведению весового коэффициента и степени истинности антецедента данного нечеткого продукционного правила.

Если заключение представляет составное высказывание, то степень истинности каждого из элементарных высказываний равна алгебраическому произведению весового коэффициента и степени истинности антецедента данного нечеткого продукционного правила.

Если весовые коэффициенты продукционных правил не указаны явно на этапе формирования базы правил, то их значения по умолчанию равны единице.

Функции принадлежности μ (y) каждого из элементарных подзаключений консеквентов всех продукционных правил находятся при помощи одного из методов нечеткой композиции:

· min–активизация – μ(y)=min{ c;μ(x) };

· prod-активизация – μ (y) =c μ (x);

· average-активизация – μ (y) =0.5(c + μ (x));

где μ (x) и c – соответственно функции принадлежности термов лингвистических переменных и степени истинности нечетких высказываний, образующих соответствующие следствия (консеквенты) ядер нечетких продукционных правил.

Пример. Если формализация описания притока жидкости в баке проведена при помощи лингвистической переменной, в кортеже которой содержится три нечетких переменных, соответствующих понятиям малого, среднего и большого значения притока жидкости, функции принадлежности которых представлены на рис.2.19, то для продукционных правил системы нечеткого вывода по управлению уровнем жидкости в емкости посредством изменения притока жидкости, функции принадлежности всех подзаключений при min активизации будут выглядеть следующим образом (рис.2.20(а), (б)).

Рис.2.20(а). Функция принадлежностей кортежа лингвистических переменных, соответствующих нечетким понятиям малого, среднего, большого притока жидкости в бак и min-активизация всех подзаключений правил нечеткой продукции системы управления уровнем жидкости в баке

Рис.2.20(б). Функция принадлежностей кортежа лингвистических переменных, соответствующих нечетким понятиям малого, среднего, большого притока жидкости в бак и min-активизация всех подзаключений правил нечеткой продукции системы управления уровнем жидкости в баке

Аккумуляция (или аккумулирование) в системах нечеткого вывода – это процесс нахождения функции принадлежности для каждой из выходных лингвистических переменных. Цель аккумуляции состоит в объединении всех степеней истинности подзаключений для получения функции принадлежности каждой из выходных переменных. Результат аккумуляции для каждой выходной лингвистической переменной определяется как объединение нечетких множеств всех подзаключений нечеткой базы правил относительно соответствующей лингвистической переменной. Объединение функций принадлежности всех подзаключений проводится как правило классически ∀x∈X μ A∪B (x)=max{ μ A (x); μ B (x) } (max-объединение), также могут использоваться операции:

· алгебраического объединения ∀ x ∈ X μ A+B x = μ A x + μ B x - μ A x ⋅ μ B x,

· граничного объединения ∀ x ∈ X μ A B x = min{ μ A x ⋅ μ B x;1},

· драстического объединения ∀x∈X μ A∇B (x)={ μ B (x),если μ A (x)=0, μ A (x),если μ B (x)=0, 1, в остальных случаях,

· а также λ -суммы ∀ x ∈ X μ (A+B) x = λ μ A x +(1-λ) μ B x,λ∈[0;1].

Пример. Для продукционных правил системы нечеткого вывода по управлению уровнем жидкости в емкости посредством изменения притока жидкости, функция принадлежности лингвистической переменной «приток жидкости», полученная в результате аккумуляции всех подзаключений при max-объединении будет выглядеть следующим образом (рис.2.21).

Рис.2.21Функция принадлежности лингвистической переменной «приток жидкости»

Дефаззификация в системах нечеткого вывода – это процесс перехода от функции принадлежности выходной лингвистической переменной к её четкому (числовому) значению. Цель дефаззификации состоит в том, чтобы, используя результаты аккумуляции всех выходных лингвистических переменных, получить количественные значения для каждой выходной переменной, которое используется внешними по отношению к системе нечеткого вывода устройствами (исполнительными механизмами интеллектуальной САУ).

Переход от полученной в результате аккумуляции функции принадлежности μ (x) выходной лингвистической переменной к численному значению y выходной переменной производится одним из следующих методов:

· метод центра тяжести (Centre of Gravity) заключается в расчете центроида площади y= ∫ x min xmax xμ(x)dx ∫ x min x max μ(x)dx, где [ x max; x min ] – носитель нечеткого множества выходной лингвистической переменной; (на рис. 2.21 результат дефаззификации обозначен зеленой линией)

· метод центра площади (Centre of Area) заключается в расчете абсциссы y, делящей площадь, ограниченную кривой функции принадлежности μ (x), так называемой биссектрисы площади ∫ x min yμ(x)dx = ∫ y x max μ(x)dx;(на рис. 2.21 результат дефаззификации обозначен синей линией)

· метод левого модального значения y= x min;

· метод правого модального значения y= x max

Пример. Для продукционных правил системы нечеткого вывода по управлению уровнем жидкости в емкости посредством изменения притока жидкости дефаззификация функции принадлежности лингвистической переменной «приток жидкости» (рис.2.21) приводит к следующим результатам:

· метод центра тяжести y= 0.39875 м 3 /сек;

· метод центра площади y= 0.40938 м 3 /сек

· метод левого модального значения y= 0.21 м 3 /сек;

· метод правого модального значения y= 0.50 м 3 /сек

Рассмотренные этапы нечеткого вывода могут быть реализованы неоднозначным образом: агрегирование может проводиться не только в базисе нечеткой логики Заде, активизация может проводиться различными методами нечеткой композиции, на этапе аккумуляции объединение можно провести отличным от max-объединения способом, дефаззификация также может проводиться различными методами. Таким образом, выбор конкретных способов реализации отдельных этапов нечеткого вывода определяет тот или иной алгоритм нечеткого вывода. В настоящее время остается открытым вопрос критериев и методов выбора алгоритма нечеткого вывода в зависимости от конкретной технической задачи. На текущий момент в системах нечеткого вывода наиболее часто применяются следующие алгоритмы.

Алгоритм Мамдани (Mamdani) нашел применение в первых нечетких системах автоматического управления. Был предложен в 1975 году английским математиком Е.Мамдани для управления паровым двигателем.

· Формирование базы правил системы нечеткого вывода осуществляется в виде упорядоченного согласованного списка нечетких продукционных правил в виде «IF A THEN B», где антецеденты ядер правил нечеткой продукции построены при помощи логических связок «И», а консеквенты ядер правил нечеткой продукции простые.

· Фаззификация входных переменных осуществляется описанным выше способом, так же, как и в общем случае построения системы нечеткого вывода.

· Агрегирование подусловий правил нечеткой продукции осуществляется при помощи классической нечеткой логической операции «И» двух элементарных высказываний A, B: T(A ∩ B) = min{ T(A);T(B) }.

· Активизация подзаключений правил нечеткой продукции осуществляется методом min-активизации μ(y) = min{c; μ (x) }, где μ (x) и c – соответственно функции принадлежности термов лингвистических переменных и степени истинности нечетких высказываний, образующих соответствующие следствия (консеквенты) ядер нечетких продукционных правил.

· Аккумуляция подзаключений правил нечеткой продукции проводится при помощи классического для нечеткой логики max-объединения функций принадлежности ∀ x ∈ X μ A B x = max{ μ A x; μ B x }.

· Дефаззификация проводится методом центра тяжести или центра площади.

Например, описанный выше случай управления уровнем бака соответствует алгоритму Мамдани, если на этапе дефаззификации четкое значение выходной переменной ищется методом центра тяжести или площади: y= 0.35375 м 3 /сек или y= 0.38525 м 3 /сек соответственно.

Алгоритм Цукамото (Tsukamoto) формально выглядит следующим образом.

· Формирование базы правил системы нечеткого вывода осуществляется аналогично алгоритму Мамдани.

· Фаззификация входных переменных осуществляется аналогично алгоритму Мамдани.

· Агрегирование подусловий правил нечеткой продукции осуществляется аналогично алгоритму Мамдани при помощи классической нечеткой логической операции «И» двух элементарных высказываний A, B: T(A ∩ B) = min{ T(A);T(B) }

· Активизация подзаключений правил нечеткой продукции проводится в два этапа. На первом этапе, степени истинности заключений (консеквентов) нечетких продукционных правил находятся аналогично алгоритму Мамдани, как алгебраическое произведение весового коэффициента и степени истинности антецедента данного нечеткого продукционного правила. На втором этапе, в отличие от алгоритма Мамдани, для каждого из продукционных правил вместо построения функций принадлежности подзаключений решается уравнение μ (x)=c и определяется четкое значение ω выходной лингвистической переменной, где μ (x) и c – соответственно функции принадлежности термов лингвистических переменных и степени истинности нечетких высказываний, образующих соответствующие следствия (консеквенты) ядер нечетких продукционных правил.

· Аккумуляция заключений правил нечеткой продукции не проводится, поскольку на этапе активизации уже получены дискретные множества четких значений для каждой из выходных лингвистических переменных.

· На этапе дефаззификации для каждой лингвистической переменной осуществляется переход от дискретного множества четких значений { w 1... w n } к единственному четкому значению согласно дискретному аналогу метода центра тяжести y= ∑ i=1 n c i w i ∑ i=1 n c i,

где n – количество правил нечеткой продукции, в подзаключениях которой фигурирует данная лингвистическая переменная, c i – степень истинности подзаключения продукционного правила, w i – четкое значение данной лингвистической переменной, полученное на стадии активизации путем решения уравнения μ(x)= c i, т.е. μ(w i)= c i, а μ (x) представляет функцию принадлежности соответствующего терма лингвистической переменной.

Например, алгоритм Цукамото реализуется, если в описанном выше случае управления уровнем бака:

· на этапе активизации воспользоваться данными рис.2.20 и для каждого продукционного правила графически решить уравнение μ(x)= c i, т.е. найти пары значений (c i, w i): rule1 - (0,75; 0,385), rule2 - (0,5; 0,375), rule3- (0; 0), rule4 - (0,25; 0,365), rule5 - (0,25; 0,365),
rule6 - (0; 0), rule7 - (0; 0), rule7 - (0; 0), rule8 - (0; 0), rule9 - (0; 0), для пятого правила существует два корня;

· на этапе дефаззификации для лингвистической переменной «приток жидкости» осуществить переход от дискретного множества четких значений { ω 1... ω n } к единственному четкому значению согласно дискретному аналогу метода центра тяжести y= ∑ i=1 n c i w i ∑ i=1 n c i, y= 0.35375 м 3 /сек

Алгоритм Ларсена формально выглядит следующим образом.

· Формирование базы правил системы нечеткого вывода осуществляется аналогично алгоритму Мамдани.

· Фаззификация входных переменных осуществляется аналогично алгоритму Мамдани.

· Агрегирование подусловий правил нечеткой продукции осуществляется аналогично алгоритму Мамдани при помощи классической нечеткой логической операции «И» двух элементарных высказываний A, B: T(A ∩ B) = min{ T(A);T(B) }.

· Активизация подзаключений правил нечеткой продукции осуществляется методом prod-активизации,μ (y)=c μ (x), где μ (x) и c – соответственно функции принадлежности термов лингвистических переменных и степени истинности нечетких высказываний, образующих соответствующие следствия (консеквенты) ядер нечетких продукционных правил.

· Аккумуляция подзаключений правил нечеткой продукции проводится аналогично алгоритму Мамдани при помощи классического для нечеткой логики max-объединения функций принадлежности T(A ∩ B) = min{ T(A);T(B) }.

· Дефаззификация проводится любым из рассмотренных выше методов.

Например, алгоритм Ларсена реализуется, если в описанном выше случае управления уровнем бака, на этапе активизации получены функции принадлежности всех подзаключений согласно prod-активизации (рис.2.22(а),(б)), тогда функция принадлежности лингвистической переменной «приток жидкости», полученная в результате аккумуляции всех подзаключений при max-объединении будет выглядеть следующим образом (рис.2.22(б)), а дефаззификация функции принадлежности лингвистической переменной «приток жидкости» приводит к следующим результатам: метод центра тяжести y= 0.40821 м 3 /сек, метод центра площади y= 0.41562 м 3 /сек

Рис.2.22(а) Prod-активизация всех подзаключений правил нечеткой продукции системы управления уровнем жидкости в баке

Рис.2.22(б) Prod-активизация всех подзаключений правил нечеткой продукции системы управления уровнем жидкости в баке и полученная путем max-объединения функция принадлежности лингвистической переменной «приток жидкости»

, Алгоритм Сугено(Sugeno) выглядит следующим образом.

· Формирование базы правил системы нечеткого вывода осуществляется в виде упорядоченного согласованного списка нечетких продукционных правил в виде «IF A AND B THEN w= ε 1 a+ ε 2 b», где антецеденты ядер правил нечеткой продукции построены из двух простых нечетких высказываний A, B при помощи логических связок «И», a и b – четкие значения входных переменных, соответствующие высказываниям A и B соответственно, ε 1 и ε 2 – весовые коэффициенты, определяющие коэффициенты пропорциональности между четкими значениями входных переменных и выходной переменной системы нечеткого вывода, w – четкое значение выходной переменной, определенное в заключении нечеткого правила, как действительное число.

· Фаззификация входных переменных, определяющих высказывания и, осуществляется аналогично алгоритму Мамдани.

· Агрегирование подусловий правил нечеткой продукции осуществляется аналогично алгоритму Мамдани при помощи классической нечеткой логической операции «И» двух элементарных высказываний A, B: T(A ∩ B) = min{ T(A);T(B) }.

· «Активизация подзаключений правил нечеткой продукции проводится в два этапа. На первом этапе, степени истинности c заключений (консеквентов) нечетких продукционных правил, ставящих в соответствие выходной переменной действительные числа, находятся аналогично алгоритму Мамдани, как алгебраическое произведение весового коэффициента и степени истинности антецедента данного нечеткого продукционного правила. На втором этапе, в отличие от алгоритма Мамдани, для каждого из продукционных правил вместо построения функций принадлежности подзаключений в явном виде находится четкое значение выходной переменной w= ε 1 a+ ε 2 b. Таким образом, каждому i-му продукционному правилу ставится в соответствие точка (c i w i), где c i– степень истинности продукционного правила, w i – четкое значение выходной переменной, определенной в консеквенте продукционного правила.

· Аккумуляция заключений правил нечеткой продукции не проводится, поскольку на этапе активизации уже получены дискретные множества четких значений для каждой из выходных лингвистических переменных.

· Дефаззификация проводится как и в алгоритме Цукамото. Для каждой лингвистической переменной осуществляется переход от дискретного множества четких значений { w 1... w n } к единственному четкому значению согласно дискретному аналогу метода центра тяжести y= ∑ i=1 n c i w i ∑ i=1 n c i, где n – количество правил нечеткой продукции, в подзаключениях которой фигурирует данная лингвистическая переменная, c i – степень истинности подзаключения продукционного правила, w i – четкое значение данной лингвистической переменной, установленное в консеквенте продукционного правила.

Например, алгоритм Сугено реализуется, если в описанном выше случае управления уровнем жидкости в баке на этапе формирования базы правил системы нечеткого вывода правила задаются исходя из того, что при поддержании постоянного уровня жидкости численные значения притока w и расхода b должны быть равны между собой ε 2 =1, а скорость наполняемости емкости определяется соответственным изменением коэффициента пропорциональности ε 1 между притоком w и уровнем жидкости a. В этом случае база правил системы нечеткого вывода, соответствующая знаниям эксперта о том, какой необходимо выбрать приток жидкости w= ε 1 a+ ε 2 b чтобы уровень жидкости в баке оставался средним, будет выглядеть следующим образом:

ПРАВИЛО <1>: ЕСЛИ «уровень жидкости малый» И «расход жидкости большой» ТО w=0,3a+b;

ПРАВИЛО <2>: ЕСЛИ «уровень жидкости малый» И «расход жидкости средний» ТО w=0,2a+b;

ПРАВИЛО <3>: ЕСЛИ «уровень жидкости малый» И «расход жидкости малый» ТО w=0,1a+b;

ПРАВИЛО <4>: ЕСЛИ «уровень жидкости средний» И «расход жидкости большой» ТО w=0,3a+b;

ПРАВИЛО <5>: ЕСЛИ «уровень жидкости средний» И «расход жидкости средний» ТО w=0,2a+b;

ПРАВИЛО <6>: ЕСЛИ «уровень жидкости средний» И «расход жидкости малый» ТО w=0,1a+b;

ПРАВИЛО <7>:ЕСЛИ «уровень жидкости большой» И «расход жидкости большой» ТО w=0,4a+b;

ПРАВИЛО <8>: ЕСЛИ «уровень жидкости большой» И «расход жидкости средний» ТО w=0,2a+b;

ПРАВИЛО <9>: ЕСЛИ «уровень жидкости большой» И «расход жидкости малый» ТО w=0,1a+b.

При уже рассмотренных ранее текущих уровне и расходе жидкости a= 2.5 м и b= 0.4 м 3 /сексоответственно, в результате фаззификации, агрегирования и активизации с учетом явного определения четких значений выходной переменной в консеквентах продукционных правил получаем пары значений (c i w i): rule1 - (0,75; 1,15), rule2 - (0,5; 0.9), rule3- (0; 0,65), rule4 - (0,25; 1,15), rule5 - (0,25; 0,9), rule6 - (0; 0,65), rule7 - (0; 0), rule7 - (0; 1,14), rule8 - (0; 0,9), rule9 - (0; 0,65). На этапе дефаззификации для лингвистической переменной «приток жидкости» осуществляется переход от дискретного множества четких значений { w 1... w n } к единственному четкому значению согласно дискретному аналогу метода центра тяжести y= ∑ i=1 n c i w i ∑ i=1 n c i, y= 1.0475 м 3 /сек

Упрощенный алгоритм нечеткого вывода формально задается точно так же, как и алгоритм Сугено, только при явном задании четких значений в консеквентах продукционных правил вместо соотношения w= ε 1 a+ ε 1 b используется явное задание непосредственного значения w. Таким образом, формирование базы правил системы нечеткого вывода осуществляется в виде упорядоченного согласованного списка нечетких продукционных правил в виде «IF A AND B THEN w=ε», где антецеденты ядер правил нечеткой продукции построены из двух простых нечетких высказываний A, B при помощи логических связок «И», w – четкое значение выходной переменной, определенное для каждого заключения i -го правила, как действительное число ε i.

Например, упрощенный алгоритм нечеткого вывода реализуется, если в описанном выше случае управления уровнем жидкости в баке на этапе формирования базы правил системы нечеткого вывода правила задаются следующим образом:

ПРАВИЛО <1>: ЕСЛИ «уровень жидкости малый» И «расход жидкости большой» ТО w=0,6;

ПРАВИЛО <2>: ЕСЛИ «уровень жидкости малый» И «расход жидкости средний» ТО w=0,5;

ПРАВИЛО <3>: ЕСЛИ «уровень жидкости малый» И «расход жидкости малый» ТО w=0,4;

ПРАВИЛО <4>: ЕСЛИ «уровень жидкости средний» И «расход жидкости большой» ТО w=0,5;

ПРАВИЛО <5>: ЕСЛИ «уровень жидкости средний» И «расход жидкости средний» ТО w=0,4;

ПРАВИЛО <6>: ЕСЛИ «уровень жидкости средний» И «расход жидкости малый» ТО w=0,3;

ПРАВИЛО <7>:ЕСЛИ «уровень жидкости большой» И «расход жидкости большой» ТО w=0,3;

ПРАВИЛО <8>: ЕСЛИ «уровень жидкости большой» И «расход жидкости средний» ТО w=0,2;

ПРАВИЛО <9>: ЕСЛИ «уровень жидкости большой» И «расход жидкости малый» ТО w=0,1.

При уже рассмотренных ранее текущих уровне и расходе жидкости и соответственно, в результате фаззификации, агрегирования и активизации с учетом явного определения четких значений выходной переменной в консеквентах продукционных правил получаем пары значений (c i w i): rule1 - (0,75; 0,6), rule2 - (0,5; 0,5), rule3- (0; 0,4), rule4 - (0,25; 0,5), rule5 - (0,25; 0,4), rule6 - (0; 0,3),
rule7 - (0; 0,3), rule7 - (0; 0,3), rule8 - (0; 0,2), rule9 - (0; 0,1). На этапе дефаззификации для лингвистической переменной «приток жидкости» осуществляется переход от дискретного множества четких значений { w 1... w n } к единственному четкому значению согласно дискретному аналогу метода центра тяжести y= ∑ i=1 n c i w i ∑ i=1 n c i, y= 1.0475 м 3 /сек, y= 0.5 м 3 /сек

3. Нечеткие системы автоматического управления

В соответствии с рассмотренными ранее принципами IPDI можно дать следующую классификацию применяющихся в настоящее время нечетких систем автоматического управления, расположив их в порядке возрастания степени интеллектуальности.

1. САУ с нечетким контроллером. Замкнутая система управления с обратной связью, в прямом контуре которой в качестве регулятора используется нечеткий контроллер – устройство, опрашивающее при помощи датчиков состояние объекта управления и вырабатывающее управляющее воздействие посредством реализации одной из рассмотренных ранее схем нечеткого вывода. Поскольку такое устройство только использует заранее введенные знания, полученные от экспертов на этапе проектирования и представленные в виде базы правил системы нечеткого вывода, но не обладает самостоятельной способностью к модификации базы правил, а все последующие изменения в базе правил осуществляются разработчиком извне, то такая система управления обладает минимальной степенью интеллектуальности.

2. Гибридные нечеткие САУ. Замкнутая система управления с обратной связью, в прямом контуре которой в качестве регулятора используется гибридный нечеткий контроллер – двухуровневое иерархическое устройство, опрашивающее при помощи датчиков состояние объекта управления и вырабатывающее на первом уровне управляющее воздействие посредством реализации линейного или нелинейного закона управления, полученного методами классической ТАУ (например, ПИД-регулирование, релейный регулятор и т.п.). На втором уровне гибридного нечеткого контроллера осуществляется адаптация параметров регулятора посредством реализации одной из рассмотренных ранее схем нечеткого вывода, для которой в данном случае входными переменными являются переменные состояния объекта управления, а выходными переменными – параметры закона управления, реализованного на подчиненном уровне (например, коэффициенты усиления ПИД-регулятора). Поскольку такое устройство обладает определенной способностью приспосабливаться к изменению свойств объекта управления и самостоятельно модифицировать закон управления в соответствии с правилами, основанными на знаниях, то такая система управления обладает большей степенью интеллектуальности. Еще большее увеличение интеллектуальности системы может быть достигнуто, если и алгоритм управления, и методы его модификации используют методы искусственного интеллекта. Этим требованиям отвечают адаптивные нечеткие САУ.

3. Адаптивные нечеткие САУ. Замкнутая система управления с обратной связью, в прямом контуре которой в качестве регулятора используется адаптивный нечеткий контроллер – двухуровневое иерархическое устройство, опрашивающее при помощи датчиков состояние объекта управления и вырабатывающее на первом уровне управляющее воздействие посредством реализации одной из рассмотренных ранее схем нечеткого вывода. На втором уровне осуществляется коррекция базы правил системы нечеткого вывода при помощи одного из методов нечеткого вывода. Таким образом, при изменении среды функционирования нечеткой адаптивной САУ верхний уровень осуществляет интеллектуальную адаптацию системы нечеткого вывода нижнего уровня, который в свою очередь представляет устройство автоматического принятия решений на основе знаний эксперта.

Данная классификация нечетких систем является далеко не окончательной, поскольку в настоящее время ведутся работы по дальнейшему увеличению интеллектуальности нечетких САУ в соответствии с реализацией всех принципов IPDI и стремлении прийти от систем, интеллектуальных в малом, к системам, интеллектуальным в большом. Эти цели могут быть достигнуты путем комбинации различных подходов к построению интеллектуальных систем в составе многоуровневых интеллектуальных контроллеров, органично сочетающих принципы и методы нечеткого вывода, ситуационного управления, инженерии знаний, нейронных сетей и эволюционного моделирования. Наиболее перспективным в этом плане, с точки зрения авторов, является разработка интеллектуальных САУ, строящихся на базе нечетких нейронных сетей, что позволяет сочетать как методы работы с нечеткой информацией и знаниями, так и способность систем к самостоятельной адаптации.

3.1. САУ с нечетким контроллером

При синтезе САУ с нечетким контроллером основная доля работы приходится на конструирование базы нечетких продукционных правил. Нечеткий контроллер реализует управление по состоянию, если продукции базы правил строятся с использованием лингвистических переменных, характеризующих состояние объекта. В этом случае цель управления в виде желаемого состояния объекта управления неявно вводится в базу правил экспертом на стадии формирования базы нечетких продукционных правил. Архитектура САУ с нечетким контроллером, реализующей управление по состоянию, выглядит следующим образом (рис.3.1).

Рис.3.1. САУ с нечетким контроллером и управлением по состоянию

Обобщенный объект управления включает в себя непосредственно управляемый технологический процесс, усилительно преобразующие механизмы, органы регулирования и датчики измерения переменных состояния объекта управления. Входные переменные, характеризующие реальное и желаемое состояния объекта управления, подвергаются фаззификации и используются в системе нечеткого вывода. Система нечеткого вывода содержит базу нечетких продукционных правил обобщенного вида ЕСЛИ «состояние объекта» ТО «воздействие на объект», в которой в нечеткой форме представлены знания экспертов по управлению данным технологическим процессом при движении к желаемому состоянию объекта на основе знаний о величинах, характеризующих действительное состояние объекта. В результате нечеткого вывода и последующей дефаззификации получаются четкие значения выходных переменных, которые используются для последующего управления технологическим процессом.

Пример. В смеситель подается холодная и горячая вода по двум трубопроводам с расходом и температурой t хол, G хол и t гор, G гор соответственно. Регулировка температуры воды t на выходе из смесителя достигается путем изменения расхода горячей воды G гор на входе смесителя. Рассмотрим нечеткое управление обобщенным динамическим объектом, включающим в себя регулируемый вентиль с коэффициентом передачи k вент, смеситель и датчик температуры с передаточной функцией W дат (s)(рис.3.2), при помощи нечеткого контроллера, синтезирующего воздействие u, эквивалентное углу поворота вентиля крана горячей воды, исходя из оценки комфортности температуры воды на выходе смесителя.

Рис.3.2. Пример построения интеллектуальной САУ с нечетким контроллером, реализующим управление по состоянию

Эвристические правила, применяющиеся при регулировании температуры воды на выходе смесителя посредством поворота вентиля вправо/влево относительно среднего положения, соответствующего комфортной температуре воды на выходе смесителя:

· ЕСЛИ «вода горячая» ТО «повернуть вентиль на большой угол вправо»;

· ЕСЛИ «вода не очень горячая» ТО «повернуть вентиль на небольшой угол вправо»;

· ЕСЛИ «вода теплая» ТО «не менять положения вентиля»;

· ЕСЛИ «вода прохладная» ТО «повернуть вентиль на небольшой угол влево»;

· ЕСЛИ «вода холодная» ТО «повернуть вентиль на большой угол влево».

Формализация описания температуры воды на выходе из смесителя и угла поворота вентиля крана горячей воды проведена при помощи лингвистических переменных, в кортеже которых содержится по пять нечетких переменных, функции принадлежности которых представлены на рис.3.3.

Рис.3.3. Функции принадлежностей кортежей лингвистических переменных, определяющих нечеткое представление входных и выходных величин, использующихся при реализации алгоритма нечеткого вывода Мамдани

Рис.3.4. Динамика объекта управления при разомкнутом управлении (1) и при управлении по состоянию с помощью нечеткого контроллера Мамдани (2)

Если произвести имитационное моделирование объекта управления при нормально распределеннойt хол с математическим ожиданием 20 o С и дисперсией 4 o С 2, нормально распределенным G хол с математическим ожиданием 0,05 м 3 /сек и дисперсией 0,0005(м 3 /сек) 2, нормально распределенной tгор с математическим ожиданием 70 o С и дисперсией 5 o С 2, k вент 0,001м 3 / (сек⋅град), W дат (s) = 10,1s+1, то можно получить реализацию динамики процесса стабилизации комфортной температуры воды на выходе из смесителя при нечетком управлении в САУ с использованием нечеткого вывода на рассмотренной базе правил согласно алгоритма Мамдани (рис.3.4).

Нечеткий контроллер реализует управление по отклонению, если продукции базы правил строятся с использованием лингвистических переменных, характеризующих отклонение реального и желаемого состояний объекта. В этом случае цель управления в виде желаемого состояния объекта управления явно вводится в систему управления при помощи задающего устройства. Архитектура САУ с нечетким контроллером, реализующей управление по отклонению, выглядит следующим образом (рис.3.5).

Рис.3.5. САУ с нечетким контроллером и управлением по отклонению

Входные переменные, характеризующие различия между реальным и желаемым состоянием объекта управления, подвергаются фаззификации и используются в системе нечеткого вывода. Система нечеткого вывода содержит базу нечетких продукционных правил обобщенного вида ЕСЛИ «отклонение от желаемого состояния объекта» ТО «воздействие на объект», в которой в нечеткой форме представлены знания экспертов по управлению данным технологическим процессом при движении к желаемому состоянию объекта на основе знаний о величинах, характеризующих отклонение объекта от желаемого состояния.

Рис.3.6. Пример построения интеллектуальной САУ с нечетким контроллером, реализующим управление по отклонению

Пример. Рассмотрим нечеткое управление динамическим объектом (рис.3.6) при помощи нечеткого контроллера, синтезирующего воздействие на объект управления посредством системы нечеткого вывода с базой продукционных правил, представленных в таблице 3.1. Управление осуществляется по двум переменным: отклонению e и скорости изменения отклонения de dt желаемой выходной переменной y задобъекта управления от ее действительного значения y.

Таблица 3.1

Формализация описания отклонения и скорости изменения отклонения выхода объекта управления от требуемого значения, а также управляющего воздействия, проведена при помощи лингвистических переменных, в кортеже которых содержится по девять нечетких переменных, соответствующих понятиям отрицательного малого NS, отрицательного среднего NM, отрицательного большого NB, отрицательного близкого к нулю ZN, приблизительно нулевого Z, положительного близкого к нулю ZP, положительного малого PS, положительного среднего PM, положительного большого PB значений соответствующих физических величин, функции принадлежности которых представлены на рис.3.7(a,б).

Если обобщенный объект управления представить в виде последовательного соединения двух апериодических звеньев K (T 1 s+1)(T 2 s+1) с коэффициентом усиления K и постоянными времени T 1,T 2, являющимися непрерывными случайными величинами, распределенными нормально с математическим ожиданием m k = 1, m 1 = 1, m 2 = 1 и дисперсией D k = 0,05, D 1 = 1, D 2 = 4соответственно, то можно получить переходный процесс в САУ при нечетком управлении с использованием нечеткого вывода на рассмотренной базе правил согласно алгоритму Мамдани (рис.3.8).

Рис.3.7(а). Функции принадлежностей кортежей лингвистических переменных, определяющих нечеткое представление входных и выходных величин, использующихся при реализации алгоритма нечеткого вывода Мамдани)

Рис.3.7(б). Функции принадлежностей кортежей лингвистических переменных, определяющих нечеткое представление входных и выходных величин, использующихся при реализации алгоритма нечеткого вывода Мамдани

На рис.3.8 для сравнения представлен переходный процесс при альтернативном ПИД-регулировании с параметрами регулятора, рассчитанными по минимаксному критерию исходя из математических ожиданий постоянных времени объекта управления. Несмотря на то, что рассмотренное в данном примере представление сложного слабоструктурированного объекта посредством апериодических звеньев с нестационарными постоянными времени весьма отдаленно напоминает реальную сложную систему, анализ полученных переходных характеристик позволяет сделать вывод об устойчивости рассматриваемого нечеткого управления, а также как о его недостатках в виде больших инерционности и перерегулирования, так и о его преимуществах с точки зрения минимизации СКО при стабилизации стационарного режима объекта управления, по сравнению с традиционным ПИД-регулятором.

Рис.3.8. Переходные процессы в сложной САУ с контроллером Мамдани (1) и с ПИД-регулятором (2)

Таким образом, динамика САУ с нечетким контроллером всецело определяется архитектурой системы нечеткого вывода: методом построения и содержанием базы продукционных правил, а также способом реализации алгоритма нечеткого вывода. Поэтому при проектировании рассмотренного типа САУ с особой тщательностью необходимо подходить к выбору экспертов, методикам экспертного опроса и формированию базы правил. Что касается выбора способов реализации отдельных этапов алгоритма нечеткого вывода, то, как уже было отмечено ранее, этот вопрос в настоящее время решается в большей степени интуитивно, поскольку пока не существует законченной и целостной методики синтеза алгоритма нечеткого вывода на базе продукционных правил, позволяющего реализовать нечеткое управление в соответствии с заданной заранее какой либо оценкой требуемого качества данного управления. Как правило выбор конкретного алгоритма нечеткого вывода осуществляется из ограниченного числа их возможных реализаций эмпирическим путем. Вопрос аналитического конструирования нечеткого контроллера, реализующего нечеткое управление объектом «наилучшим» (в смысле какого либо критерия) образом на данный момент остается открытым.

3.2. Гибридные нечеткие САУ

Гибридная нечеткая САУ – это иерархическая двухуровневая система автоматического управления, на нижнем исполнительном уровне которой находится традиционный регулятор, построенный в соответствии с методами классической теории автоматического управления, а на верхнем координационном уровне используется система нечеткого вывода для интеллектуальной коррекции параметров закона управления, реализованного на исполнительном уровне (рис.3.9.)

Рис.3.9. Архитектура гибридной нечеткой САУ

Входные переменные, характеризующие различия между реальным и желаемым состоянием объекта управления, подвергаются фаззификации и используются и при непосредственном формировании управления на исполнительном уровне, и в системе нечеткого вывода координационного уровня. Система нечеткого вывода координационного уровня содержит базу нечетких продукционных правил обобщенного вида ЕСЛИ «отклонение от желаемого состояния объекта» ТО «изменение параметров закона управления исполнительного уровня», в которой в нечеткой форме представлены знания экспертов по корректировке параметров регулятора исполнительного уровня с целью обеспечения наилучшего, с точки зрения эксперта, движения объекта. В большинстве случаев при практической реализации гибридных контроллеров в качестве традиционного регулятора исполнительного уровня используется ПИД-регулятор, как обладающий одновременно удовлетворительными динамическими характеристиками при управлении различными классами объектов и возможностью легкой перенастройки параметров.

Пример. Рассмотрим нечеткое управление динамическим объектом (рис.3.10) при помощи гибридного нечеткого контроллера, синтезирующего на исполнительном уровне воздействие u на объект управления посредством ПИД-регулятора с коэффициентами усиления пропорциональной, дифференциальной и интегральной составляющих K p, K i и K d соответственно.

Рис.3.10. Пример построения гибридной нечеткой САУ

На координационном уровне при помощи системы нечеткого вывода с базой продукционных правил, представленных в таблице 3.2, на основе информации об отклонении желаемой выходной переменной y зад объекта управления от ее действительного значения y с интервалом времени T происходит интеллектуальная коррекция настроек ПИД-регулятора и выработка поправок его параметров∆ K p, ∆ K i и ∆ K d соответственно.

Таблица 3.2.

Формализация описания показателей отклонения e, e. = de dt, e.. = d 2 e dt, e... = d 3 e dt выхода объекта управления от требуемого значения, а также управляющего воздействия u, проведена при помощи лингвистических переменных, в кортеже которых содержатся нечеткие переменные, соответствующих понятиям отрицательного малого NS, отрицательного среднего NM, отрицательного большого NB, отрицательного близкого к нулю ZN, приблизительно нулевого Z, положительного близкого к нулю ZP, положительного малого PS, положительного среднего PM, положительного большого PB, отрицательного N, положительного P значений соответствующих физических величин, функции принадлежности которых представлены на рис.3.11(а, б, в).

Рис.3.11(а). Функции принадлежностей кортежей лингвистических переменных, определяющих нечеткое представление входных и выходных величин, использующихся при реализации алгоритма нечеткого вывода Мамдани

Рис.3.11(б). Функции принадлежностей кортежей лингвистических переменных, определяющих нечеткое представление входных и выходных величин, использующихся при реализации алгоритма нечеткого вывода Мамдани

Рис.3.11(в). Функции принадлежностей кортежей лингвистических переменных, определяющих нечеткое представление входных и выходных величин, использующихся при реализации алгоритма нечеткого вывода Мамдани

Если объект управления описывается передаточной функцией 1 s 2 +s+1, то путем моделирования динамики системы можно получить переходные процессы в САУ по выходу y(t) и по ошибке e(t) = y зад(t)-y(t) при нечетком управлении с использованием нечеткого вывода на рассмотренной базе правил согласно алгоритму Мамдани (рис.3.12). На том же рисунке представлены переходные процессы приПИД-регулировании с фиксированными коэффициентами регулятора, полученными в результате решения параметрической оптимизационной задачи управления объектом 1 s 2 +s+1 в соответствии с оценкой СКО.

Сравнительный анализ переходных процессов показывает, что использование гибридного нечеткого контроллера предпочтительнее применения обычного ПИД-регулятора. Если проанализировать графики изменения коэффициентов ПИД-регулятора исполнительного уровня гибридной нечеткой САУ (рис.3.13), то становится понятным, за счет чего происходит улучшение динамических характеристик системы при введении в ее состав гибридного нечеткого контроллера.

Рис.3.12. Переходные процессы в САУ при нечетком(1) и ПИД(2) регулировании

Параметры регулятора перестраиваются в соответствии с переменными, характеризующими динамику поведения отклонения выходной координаты объекта от требуемого значения: при больших значениях ошибки и тенденциях к ее увеличению параметры ПИД-регулятора увеличиваются, при снижении производных характеризующих рост ошибки или при уменьшении самой ошибки параметры ПИД-регулятора соответственно уменьшаются. При больших значениях ошибки происходит так называемый «разгон» переходного процесса, а при постепенном приближении значения выходной переменной системы к требуемому значению – «торможение» переходного процесса, что обеспечивает практически такое же быстродействие для нечеткой САУ при отсутствии перерегулирования.

Рис. 3.13. Процесс интеллектуальной подстройки параметров ПИД-регулятора (начальные значения параметров соответствуют рассчитанным по минимаксному критерию)