Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | ||
|
Задача № 1. Для функции найти многочлены степени такие, что минимальна в пространстве .
Решение: Рассмотрим многочлены 1, , . Они образуют линейно независимую систему. Применим к ним в пространстве процесс ортогонализации Грамма-Шмидта и построим ортонормированную систему полиномов Лежандра , , .
; ;
, ; ;
; ; ;
; .
По теореме о разложении в ряд Фурье отрезок ряда Фурье обладает экстремальным свойством. Значит, будет минимальна, если является проекцией элемента на подпространство, порожденное элементом . По теореме о разложении в ряд Фурье элемента x (t) имеем
.
Поэтому
Аналогично определяется и :
;
;
Задача № 2. В гильбертовом пространстве бесконечных числовых последовательностей найти проекцию вектора на подпространство
Решение: Обозначим через проекцию вектора на подпространство , тогда и , т.е. и .
Из условия ортогональности для определения коэффициентов и получим систему линейных алгебраических уравнений
Рассчитаем коэффициенты системы.
;
;
;
;
;
Система примет вид
,
Решая систему по правилу Крамера, получим
;
Задача № 3. Найти ортогональное дополнение в пространстве бесконечных числовых последовательностей к подпространству . Вычислить расстояние от до .
Решение: Ортогональное дополнение к подпространству Ln представляет собой одномерное подпространство, натянутое на вектор . Действительно, пусть , тогда и . Расстояние от точки x 0 до подпространства вычисляется по формуле . Значит, .
Задача № 4. Доказать, что если
, ,
то при . Будет ли ортогональным дополнением к ?
Решение: Пусть и имеет место формула , тогда . Из этой системы следует, что . Выразим и через . Воспользуемся соотношениями
, тогда .
Таким образом, . не является ортогональным дополнением подпространства ни при каком , т.к. при .
Задание №1. Провести процесс ортогонализации векторов х1, х2, х3 в гильбертовом пространстве , в котором скалярное произведения имеет вид:
.
1.1. ;
1.2. ;
1.3. ;
1.4. ;
1.5. ;
1.6. ;
1.7. ;
1.8. ;
1.9. ;
1.10. ;
1.11. ;
1.12. ;
1.13.
1.14. ;
1.15. ;
1.16. ;
1.17. ;
1.18. ;
1.19.
1.20. ;
1.21. .
Задание №2. В гильбертовом пространстве рассмотрим подпространство L многочленов степени n £ 4. Для заданной непрерывно-дифференцируемой функции x (t) найти элемент наилучшей аппроксимации ее многочленами u *(t) подпространства L по норме . Реализовать на ЭВМ алгоритм решениая этой задачи со следующими этапами:
1) вычисление элементов матрицы и правых частей системы по формуле Симпсона с шагом 0.05;
2) решение системы методом Гаусса;
3) проверка правильности алгоритма на примере функции .
2.1. ; | 2.8. ; |
2.2. ; | 2.9. ; |
2.3. ; | 2.10. ; |
2.4. ; | 2.11. ; |
2.5. ; | 2.12. ; |
2.6. ; | 2.13. ; |
2.7. ; | 2.14. . |
Задание 3. В гильбертовом пространстве L 2 найти проекцию элемента x 0 на подпространство L.
3.1. , ;
3.2. , ;
3.3. , ;
3.4. , ;
3.5. , ;
3.6. ;
3.7. , ;
3.8. ,
;
3.9.
.
Найти к подпространству
3.10.
3.11.
3.12.
3.13.
Найти к подпространству
3.14.
3.15.
Дата публикования: 2015-03-29; Прочитано: 869 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!