Примеры решения задач. Основные понятия: нормированное векторное пространство, отображение, непрерывное в точке отображение

ТЕМА 4. ОТБРАЖЕНИЯ В НОРМИРОВАННЫХ ВЕКТОРНЫХ ПРОСТРАНСТВАХ

Основные понятия: нормированное векторное пространство, отображение, непрерывное в точке отображение, непрерывное отображение, равномерно непрерывное отображение, отображение, удовлетворяющее условия Липшица, сжимающее отображение, неподвижная точка отображения, метод последовательных приближений, оценка скорости сходимости последовательных приближений.

ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ

Задача №1. Выяснить, является ли отображение

непрерывным в точке .

Решение: По определению, отображение непрерывно в точке , если такое, что такого, что . Оценим (по неравенству Коши-Буняковского) . Поэтому, если , то и для такое, что такого, что выполняется . Это означает, что отображение непрерывно в точке .

Задача №2. Является ли отображение непрерывным, если .

Решение: Покажем, что данное отображение не является непрерывным в нуле, т.е. , что , но .

Пусть . Рассмотрим последовательность

которая сходится к нулю. Действительно,

Покажем, что к нулю не стремится.

;

Таким образом, F не является непрерывным.

Задача №3. Является ли отображение непрерывным, равномерно непрерывным, удовлетворяющим условию Липшица, если

.

Решение: Докажем, что отображение F является равномерно непрерывным, т.е. такое, что из условия следует, что

.

Сначала покажем, что для любых вещественных неотрицательных чисел а и b справедливо неравенство:

Пусть для определенности a>b, тогда и . Значит, требуется доказать неравенство , которое эквивалентно . Упростим его, получим неравенство , которое справедливо.

Так как , то . И если , то таких, что .

Поскольку отображение равномерно непрерывно, то оно и непрерывно.

Докажем, что F не удовлетворяет условию Липшица, т.е. существуют непрерывные функции такие, что .

Пусть , тогда , а . Так как , то существует такое n, что , что и требовалось доказать.

Задача №4. Является ли отображение сжимающим. Найти , где и оценить расстояние от до неподвижной точки, если .

Решение: По определению отображение называется сжимающим, если существует постоянная такая, что выполнено .

Вычислим .

Следовательно, и отображение F является сжимающим. Найдем последовательные приближения .

Оценим расстояние от до неподвижной точки a отображения F:

.

Задача №5. Показать, что отображение является сжимающим, где . Вычислить , если .

Решение: Вычислим

Значит,

;

.

Задача №6. Найти с точностью до 0.01 приближенное решение уравнения

.

Решение: Приведем уравнение g(x)=0 к уравнению вида x=F(x) и найдем точку и радиус r такие, что инвариантен относительно F и в этом шаре отображение F - сжимающее.

Привести уравнение к виду x=F(x) можно следующим способом. Выражаем x:

.

В качестве константы Липшица для дифференцируемой функции F(x) на отрезке [a,b] можно взять .

В нашем случае . Условие выполнено, если . Выберем точку в центре этого промежутка, т.е. . Число r, радиус шара, выберем из двух условий

где , тогда .

Наши условия примут вид

Выберем одно из решений этой системы. Пусть r= 1. Тогда отрезок [-1,1] инвариантен относительно отображения F, на нем F сжимающее и .

Оценим расстояние . Следовательно, является приближенным решением уравнения с точностью до .

Задача №7. При каких к интегральному уравнению Фредгольма второго рода применим принцип сжимающих отображений в C [0,1] пространстве и в пространстве ? При найти решение с точностью до 0.01 и сравнить его с точным решением.

Решение: Обозначим через . Тогда наше уравнение запишется в виде x=F(x), то есть искомое решение есть неподвижная точка отображения F. Поскольку оба пространства C [0,1] и являются полными, то для того, чтобы применить принцип сжимающих отображений нужно показать, что F - сжимающее отображение пространства в себя.

Рассмотрим пространства C [0,1].

Обозначим через , тогда F(x)=Z(t)+Y(t) и для проверки непрерывности F достаточно проверить, что Z(t) непрерывна.

, где - некоторая постоянная, так как определенный интеграл сходится. Значит, - непрерывный функционал. Таким образом F - отображение C [0,1] в себя.

Проверим, является ли отображение F сжимающим, то есть такое, что . Оценим .

Обозначим через . Следовательно, отображение F является сжимающим, если (, то есть . При этих значениях l к интегральному уравнению Фредгольма можно применить теорему Банаха, согласно которой уравнение имеет единственное решение.

Оценим количество приближений из формулы

;

Имеем

В нашем случае , пусть , тогда . Значит . Откуда получаем неравенство на , таким образом по крайней мере является решением данного уравнения с точностью 0.01.

Найдем .

;

Итак, приближенное решение данного уравнения имеет вид

.

Найдем точное решение данного уравнения, так как это уравнения с вырожденным ядром. Обозначим через .

Тогда , поэтому

;

Значит, точное решение имеет вид

.

Сравним его с приближенным :

;

Проведем аналогичные расчеты для пространства . Обозначим через . Тогда

.

Таким образом F(x) отображает в себя и является сжимающим, если к данному уравнению можно применить принцип сжимающих отображений. В этом случае понадобится число итераций, определяемое соотношением

т.е.

Откуда n=3.

Задача №8. Доказать, что последовательность цепных дробей сходится. Найти ее предел.

Решение: Используем принцип сжимающих отображений в R и определим . Заметим, что , а так как , то . Кроме того .

Рассмотрим отображение отрезка на себя. Оно является сжимающим, так как , поэтому имеет единственную неподвижную точку . Решая уравнение , имеем .

Таким образом последовательность цепных дробей сходится, ее предел .

Задание №1. Определите, при каких l ¹ 0 для следующих интегральных уравнений Фредгольма второго рода в пространстве , можно применить метод сжимающих отображений. При l = l ₀ найти приближенное решение методом последовательных приближений с точностью e = 0.001, сравнить его с точным решением.

1.1. a = 0, b = 1 ;

1.2. a = 0, b = 1 ;

1.3. a = 0, b = 1 ;

1.4. a = 0, b = 1 ;

1.5. a = 0, b = 1 ;

1.6. a = 0, b = 1 ;

1.7. a = 0, b = 1 ;

1.8. a = -1, b = 1 ;

1.9. a = -2, b = 1 ;

1.10. a = 0, b = 1 ;

1.11. a = -1, b = 1 ;

1.12. a = -2, b = 3 ;

1.13. a = 0, b = 1 ;

1.14. a = -1, b = 1 ;

1.15. a = 0, b = 1 ;

1.16. a = 0, b = p / 4 ;

1.17. a = 0, b = p / 4 ;

1.18. a = 0, b = p ;

1.19. a = -1, b = 1 ;

1.20. a = 0, b = p ;

Задание №2. Составьте и реализуйте на ЭВМ алгоритм решения интегрального уравнения Фредгольма второго рода с задания №1 методом последовательных приближений, с учетом следующих этапов.

1) вычисление по реккурентным соотношениям в равноотстоящих узлах ;

2) вычисление интеграла по формуле Симпсона с шагом 0.05;

3) конечные результаты оформить в виде следующей таблицы:

t

приближенное решение

точное решение

4) напечатать величину погрешности приближения и номер последней итерации в пространствах , .

Задание №3. Вычислить приближенное решение следующих уравнений с точностью 0.01.

Указание: уравнение g (x) = 0 привести к виду x = f (x) и найти точку x ₀ и радиус r такие, что промежуток [ a, b ], a = x ₀ - r, b = x ₀ + r инвариантен относительно f и на этом промежутке отображение f - сжимающее.

3.1. ;

3.2. ;

3.3. ;

3.4. ;

3.5. ;

3.6. ;

3.7. ;

3.8. ;

3.9. ;

3.10. ;

3.11. .

Задание №4. Определить, является ли отображение f нормированного пространства на себя сжимающим. Вычислить x ₃, где x_k = f(x_k-1), x ₀ = 0, и оценить расстояние от x ₃ до неподвижной точки.

4.1. ;

4.2. ;

4.3. ;

4.4. ;

4.5. ;

4.6. ;

4.7. ;

4.8. ;

4.9. ;

4.10. ;

4.11. ;

4.12. ;

4.13.

4.14.

Задание №5. Выяснить, является ли отображение F: X ® Y непрерывным, равномерно непрерывным, удовлетворяющим условию Липшица.

5.1. ;

5.2. ;

5.3.

5.4. ;

5.5. ;

5.6. ;

5.7. ;

5.8. ;

5.9. ;

5.10. ;

5.11. ;

5.12. ;

5.13. ;

5.14. .