Траектория равновесного роста. Траектория Дж. Фон Неймана

1. Модель Солоу.

Экономический рост - долговременные изменения реального объема национального производства, связанные с развитием производительных сил в долгосрочном временном интервале. ЭР сопровождается рядом количественных и качественных изменений в обществе, структурнойтрансформациейэкономики (индустриализация, урбанизация, рост ур-ня образования, продолжит. жизни, рост доли сбережений и гос расх в ВВП).

Модель Солоу описывает влияние

· нормы сбережений,

· роста населения

· технологического прогресса

на рост объема производства.

С помощью модели можно проанализировать какая часть произведенного продукта должна потребляться сегодня, и какая часть его должна сберегаться для использования в будущем.

Модель Солоу построена в неоклассических предпосылках гибкости цен и эластичности спроса и предложения на всех рынках в условиях совершенной конкуренции.

Предложение товаров в модели Солоу описывается с помощью ПФ Кобба-Дугласа, в которой труд (L) и капитал (K), а сумма коэффициентов эластичности выпуска по факторам равна единице .

Модель роста Солоу предполагает, что производственная функция обладает свойством постоянной отдачи от масштаба (изменение количества всех факторов производства, которое вызывает пропорциональное изменение объема выпуска продукта). Это свойство выполняется, если . Примем и получим .

Обозначим

- средняя производительность труда или выпуск продукции на одного работника;

- капиталовооруженность труда или капитал, приходящийся на одного работника Тогда получим .

Таким образом, в модели Солоу средняя производительность труда есть функция его капиталовооруженности.

Состояние экономики задается:

6) Y=y(K;L) – объем нац д-да

7) Y=C+S=C+I – фонд потреблен + фонд накопл, сбереж-я равны инвестиц-ям

8) S=s*Y, s от 0 до 1, Const, s - норма сбережения

9) S= , от 0 до 1, Const, – коэф выбытия ОФ, – чистый прирост фондов

10) , , – коэф прироста раб силы, – прирост раб силы

Условия модели:

· При отсутствии одного из факторов выпуск является нулевым.

· Предельные продуктивности факторов являются положительными.

· При увеличении объемов ресурсов выпуск возрастает.

· При увеличении объемов ресурсов предельная производительность уменьшается.

· При неограниченном увеличении одного из ресурсов выпуск также неограниченно увеличивается.

· Норма сбережения капитала (инвестиции) является постоянной.

· Норма выбывания капитала является постоянной.

· Производственная функция обладает постоянной отдачей от масштаба

Получим траекторию равновесного роста:

- увелич-е накопл капитала равно его инвест спросу

– темп прироста труда

Выразим :

Здесь

Тогда

Или:

Рост накопления снижает капиталоовоор-сть k путем распределения его между возросшим числом занятых.

Чтобы капиталов-сть была для новых рабочих на прежнем ур-не, необх, чтобы капитал возрастал с тем же темпом, что и население (n).

2. Траектория Неймана.

динамическая межотраслевая модель равновесного роста

предполагается: темпы прироста производства всех благ одинаковы и неизменны и составляют величину g.

модель в виде:

X(t) = AX(t) + F(t),

t – момент времени,

А – продуктивная матрица (матрица коэффициентов прямых затрат – объем ресурса i, необходимый для производства единицы продукта j).

Вектор конечного спроса F(t) состоит из двух компонентов:

· вектора потребления С

· вектора инвестиций I

F(t) = C(t) + I(t).

доход в момент времени t Y(t),

функция потребления отдельных видов благ может быть записана как

Ci(t) = h_iY(t), i = 1, …, n.

Доход Y(t) можно представить в виде функции:

Y(t) = v1X1(t) + x2X2(t) + … + vnXn(t

vi – доля добавленной стоимости для блага i.

Введем соответствующие векторы:

	h 1		v 1
h =	h 2	v =	v 2
…
	h n		v n

можно вывести следующее соотношение:

C(t) = hvX(t)

bij - величина капитала i, необходимая для производства блага j, то матрица коэффициентов капитала В запишется в виде:

	b 11	b 12	…	b 1n
B =	b 21	b 22	…	b 2n
	…	…		…
	b n1	b n2	…	b nn

Допустим, что как между выпуском продукции и затратами сырья, так и между выпуском продукции и величиной необходимого для этого капитала существует пропорциональная зависимость.

Если прирост производства продукции обозначить как

∆Xi(t) = Xi(t+1) – Xi(t),

то инвестиционный спрос на благо i за период времени t запишется как

Ii(t) = b_i1∆X1(t) + b_i2∆X2(t) + … + b_in∆Xn(t), i = 1, …, n.

Формулу можно переписать в матричном виде:

I(t) = B∆X(t) = B(X(t+1) – X(t))

Из уравнений можно вывести основное уравнение динамической межотраслевой модели:

X(t) = (A+ hv)X(t) + B(X(t+1) –X(t)).

обозначим A˜ = А + hv, то можно переписать в виде:

X(t) = A˜X(t) + B(X(t+1) – X(t)).

в модели предполагается равновесный рост производства.

темп прироста обозначить как g, то можно составить следующее уравнение:

X(t+1) – X(t) = gX(t).

вектор выпуска продукции за некоторый год принять за X, то динамическое уравнение можно записать как:

X = (A˜ + gB)X

Откуда после преобразования получаем:

(1-А˜)^-1BX = 1/g · X.

пусть при (1-А˜)^-1 > 0, в каждом ряду матрицы B есть хотя бы один положительный элемент.

При таком допущении, поскольку (1-А˜)^-1B > 0, согласно теореме Перрона-Фробениуса о положительно-определенных матрицах максимальный по своему абсолютному значению положительный характеристический корень λ^* матрицы (1-А˜)^-1B (корень Фробениуса) (м.б. вычислен наиболее просто с помощью алгоритма возведения в степень и умножения) и правый положительный характеристический вектор X^* ( вектор Фробениуса) определяются однозначно. Иначе говоря, других неотрицательных характеристических векторов не существует.

Следовательно, обладающая экономическим смысломтраектория равновесного роста (траектория фон Неймана – магистраль) представляет собой вектор [αX^*: α≥0], а темп прироста g^* в этой модели определяется как величина, обратная λ^*.

Недостатки модели Неймана.

а) отсутствие в явном виде непроизводственного потребления продукции;

б) отсутствие ограниченных (невоспроизводимых или ограниченно воспроизводимых ресурсов)

в) неизменность технологий (отсутствие научно-технического прогресса)