Векторы, прямые произведения, проекции векторов

Основные понятия векторных представлений:

Вектор v – упорядоченный набор элементов

v =(a ₁, a ₂, …, a_n),

где a ₁, a ₂, …, a_n – компоненты (координаты) вектора. Число n ком-понент называется длиной (размерностью) вектора.

Два вектора v ₁=(a ₁, a ₂, …, a_n) и v ₂=(b ₁, b ₂, …, b_m) равны:

(a ₁, a ₂, …, a_n)=(b ₁, b ₂, …, b_m)

если: 1) n = m; 2) a ₁= b ₁, a ₂= b ₂, …, a_n = b_m.

Прямое (декартово) произведение множеств:

A ₁´ A ₂´...´ A_n ={(a ₁,..., a_n)| a ₁Î A ₁,..., a_n Î A_n },

если A ₁= A ₂=...= A_n = A, то A ₁´ A ₂´...´ A_n = Aⁿ.

Мощность прямого произведения множеств A ₁, A ₂,..., A_n:

| A ₁´ A ₂´...´ A_n |=| A ₁| × | A ₂| × … × | A_n |.

Способы задания прямого произведения множеств A ₁´ A ₂´...´ A_n – аналогичны способам задания множеств с той разницей, что требуется задание каждого множества A ₁, A ₂,..., A_n прямого произведения.

Операции над множествами векторов (данного прямого произведе-ния) – объединение, пересечение, разность, дополнение – аналогичны соответствующим операциям над множествами элементов.

Операции над вектором v длины n: v =(a ₁, a ₂, …, a_n).

Проекция вектора v на i - ю ось: пр _i v = a_i.

Проекция вектора v на оси с номерами i ₁, i ₂, …, i_k:

где i ₁< i ₂<…< i_k.

Операции над множеством векторов V длины n: v =(a ₁, a ₂, …, a_n), v Î V.

Проекция множества векторов V на i - ю ось:

пр _iV ={пр _i v; v Î V }.

Проекция множества векторов V на оси с номерами i ₁, i ₂, …, i_k:

= v Î V }.

В частности, если V = , то

Операции над упорядоченным множеством векторов V длины n: V ={ v ₁, v ₂, …, v_m }, v =(a ₁, a ₂, …, a_n).

Проекция упорядоченного множества векторов V на i -ю ось:

Проекция упорядоченного множества векторов V на оси с номе-рами i ₁, i ₂, …, i_k:

Кроме того, над векторами v одинаковой длины n возможно выполнение различных операций сравнения, задаваемых теми или иными правилами сравнения векторов:

Правило 1 сравнения векторов по предпочтению:

Пусть V – множество векторов длины n, компонентами которых являются числа. Вектор a =(a ₁, a ₂, …, a_n) не менее предпочтителен, чем вектор b =(b ₁, b ₂, …, b_n) (обозначение a b), если компоненты вектора a не меньше соответствующих компонент вектора b, т.е.:

а b, если a ₁³ b ₁, a ₂³ b ₂, …, a_n ³ b_n.

Пример 1. Пусть при предварительном отборе претендентов на вакантную должность кадровую службу организации интересуют следующие их характеристики:

A ₁ – пол; A ₁={женск., мужск.};

A ₂ – возраст (лет); A ₂={18, 19, …, 35};

A ₃ – образование; A ₃={среднее, незаконченное высшее, высшее};

A ₄ – общий стаж работы (лет); A ₄={0, 1, 2, …, 15, более 15};

A ₅ – стаж работы менеджером (лет); A ₅={0, 1, 2, …, 10, более 10};

A ₆ – знание английского языка; A ₆={не владеет, со словарем, свободно};

A ₇ – владение компьютером; A ₇={компьютер, нет};

A ₈ – семейное положение; A ₈={холост (не замужем), женат (замужем)};

Опишите векторно двух претендентов:

а) Иванова 23 лет, окончившего МИФИ, владеющего английским со словарем, однако не имеющего стажа работы по специальности менеджера, неженатого;

б) Петрова 27 лет, окончившего Международный университет 3 года назад и проработавшего далее менеджером в коммерческой фирме, свободно владеющего двумя иностранными языками, в том числе, английским, женатого.

Определите проекции полученных векторов на оси с номерами: 2, 5, 6, 7.

При указанной последовательности характеристик векторные описания претендентов:

а=(мужск., 23, высшее, 5, 0, со словарем, компьютер, неженат),

б=(мужск., 27, высшее, 7, 3, свободно, компьютер, женат).

Проекции полученных векторов на оси (характеристики) с номе-рами 2, 5, 6, 7:

пр_{2, 5, 6, 7}а=(23, 0, со словарем, компьютер);

пр_{2, 5, 6, 7}б=(27, 3, свободно, компьютер).

Пример 2. Пусть V ={(a, b, d), (c, b, d), (d, b, b)}. Чему равны проекции V на первую ось, на вторую, а также на вторую и третью? Чему равны проекции V на эти оси, если V – упорядоченное (указан-ным выше образом) множество векторов V?

Проекции множества векторов V:

пр₁ V ={ a, c, d }; пр₂ V ={ b }; пр_2,3 V ={(b, d), (b, b)}.

Проекции упорядоченного множества векторов V =((a, b, d), (c, b, d), (d, b, b)):

пр₁ V =(a, c, d); пр₂ V ={ b, b, b }; пр_2,3 V =((b, d), (b, d), (b, b)).

Пример 3. Пусть V ={(a, b), (b, c, d), (c, a, d)}. Чему равна проекция пр₁ V?

Проекция пр₁ V не может быть определена, так как задано мно-жество V векторов разной длины.

Пример 4. Пусть X ={0, 1}, Y ={ a, b }. Найти X ´ Y, Y ´ X, X ², X ´ Y ´ X.

X ´ Y ={(0, a), (0, b), (1, a), (1, b)}.

Y ´ X ={(a, 0), (b, 0), (a, 1), (b, 1)}.

Таким образом, X ´ Y ¹ Y ´ X.

X ²={(0, 0), (0, 1), (1, 0), (1, 1)}.

X ´ Y ´ X ={(0, a, 0), (0, a, 1), (0, b, 0), (0, b, 1), (1, a, 0), (1, a, 1), (1, b, 0), (1, b, 1)}.

Пример 5. Проиллюстрировать на конкретном примере утверждение: если A Í X и B Í Y, то А ´ B Í X ´ Y.

Пусть A ={ a }, X ={ a, b }, т.е. A Í X, и B ={1, 2}, Y ={1, 2, 3}, т.е. B Í Y. Тогда: А ´ B ={(a, 1), (a, 2)};

X ´ Y ={(a, 1), (a, 2), (a, 3), (b, 1), (b, 2), (b, 3)}={(a, 1), (a, 2)}È{(a, 3), (b, 1), (b, 2), (b, 3)}=[ А ´ B ]È{(a, 3), (b, 1), (b, 2), (b, 3)}= X ´ Y.

Таким образом, А ´ B Í X ´ Y.

Пример 6. Пусть A – алфавит, т.е. конечное множество, элементами которого являются символы (буквы, цифры, знаки препинания, знаки операций и т.д.). Словом длины n в алфавите А (обозначается последовательностью из n символов без скобок и запятых) называют любой элемент множества Aⁿ. В этом определении слово представлено как вектор. Множество всех слов в алфавите A – это множество A ^*: A ^*= A ¹È A ²È A ³È…

Пусть теперь алфавит A состоит из трех символов, например: A ={ a, b, c }. Определить множество всех слов длины 1, 2, 3, 4 в алфавите A.

Множество всех слов длины 1:

A ¹={ a, b, c }, | A ¹|=3.

Множество всех слов длины 2:

A ²= А ´ A ={ aa, ab, ac, ba, bb, bc, ca, cb, cc }, | A ²|=9=3².

Множество всех слов длины 3:

A ³= А ´ A ´ A ={ aaa, aab, aac, aba, …, ccc }, | A ³|=27=3³.

Множество всех слов длины 4:

A ⁴= А ´ A ´ A ´ A ={ aaaa, aaab, aaac, aaba, …, cccc }, | A ⁴|=81=3⁴.

Очевидно, что | Aⁿ |=| A|ⁿ.

Пример 7. Пусть при сравнении пяти вариантов решений a, b, c, d, e по четырем характеристикам-критериям X, Y, Z, U получены следую-щие векторные оценки каждого варианта:

V ={(2, 3, 1, 2), (3, 3, 1, 2), (2, 2, 2, 2), (3, 2, 1, 2), (2, 3, 2, 2)}.

Используя правило 1 сравнения векторов по предпочтению, определить наилучшие векторные оценки и соответствующие им варианты решений.

В соответствии с правилом 1 выполним попарное сравнение векторных оценок из V. При сравнении первой векторной оценки со второй последняя оказывается не менее предпочтительной, а именно:

(2, 3, 1, 2) (3, 3, 1, 2).

Поэтому дальнейшее сравнение первой векторной оценки со всеми другими можно не выполнять и далее ее не рассматривать. Оставшиеся векторные оценки:

V ′={(3, 3, 1, 2), (2, 2, 2, 2), (3, 2, 1, 2), (2, 3, 2, 2)}.

В полученном списке V ′ векторных оценок первая сравнима по правилу 1 только с третьей этого списка:

(3, 3, 1, 2) (3, 2, 1, 2).

Это позволяет отбросить третью векторную оценку в V ′ как менее предпочтительную. Новый список векторных оценок:

V ′′={(3, 3, 1, 2), (2, 2, 2, 2), (2, 3, 2, 2)}

В новом списке V ′′ сравнимыми по правилу 1 оказываются только последние две оценки:

(2, 2, 2, 2) (2, 3, 2, 2).

Оставшиеся две векторные оценки

V ′′′={(3, 3, 1, 2), (2, 3, 2, 2)}

несравнимы по правилу 1, т.е. никакой из них нельзя отдать предпочтение по данному правилу. Поэтому их следует признать лучшими среди векторных оценок исходного списка V.

Таким образом, наилучшими по правилу 1 сравнения векторов по предпочтению оказались вторая и последняя векторные оценки исходного списка V, и соответствующие им варианты решений { b, e } следует также признать наилучшими с учетом оценок, полученных ими по критериям Х, Y, Z, U.

Заметим, что полученное с использованием правила 1 множество M _П={ b, e } наилучших и несравнимых вариантов решений называют в теории принятия решений областью компромиссов, или множеством парето-оптимальных решений.

Вопросы для самопроверки и упражнения:

1. Определить проекции v: пр₁ v, пр₃ v, пр_1,3 v, если:

а) v =(2, 3, 1, 1); б) v =(2, 2, 3, 1).

2. Определить проекции множества векторов V: пр₁ V, пр₃ V, пр_1,3 V, если:

а) {(2, 3, 1, 1), (2, 2, 3, 1), (1, 2, 3, 1)};

б) {(1, 3, 5), (2, 4, 6), (3, 5, 7)}.

3. Пусть X ={ a, c }, Y ={ a, d, f }. Найти X ´ Y, Y ², Y ´ X ´ Y.

4. Пусть A ₁= A ₂={ a, b, c }, A ₃= A ₄={ d, e } и V = A ₁´ A ₂´ A ₃´ A ₄. Найти: пр₁ V, пр_1,3 V.

5. Сравнить векторные оценки множества V ={(3, 1, 2, 3), (2, 2, 1, 3), (1, 2, 3, 2), (3, 1, 2, 2), (1, 2, 2, 3), (3, 2, 3, 2), (2, 2, 2, 2), (2, 3, 1, 3)} с использованием правила 1 сравнения векторов по предпочтению и определить подмножество V ′ наилучших – парето-оптимальных – векторных оценок, V ′Í V.