Диаграммы (круги) Эйлера-Венна

Диаграммы (круги) Эйлера-Венна – геометрические представления множеств. Построение диаграммы заключается в изображении большого прямоугольника, представляющего универсальное множество U, а внутри его – кругов (или каких-нибудь других замкнутых фигур), представляющих множества.

Пример 1. Представить множество A È(B Ç ) диаграммой Эйлера-Венна.

Геометрическое представление соответствующей диаграммы, показано на рис 1.6.

Пример 2. Проиллюстрировать на конкретных множествах и с помощью диаграммы Эйлера-Венна справедливость соотношения

A Ç(B È C)=(A Ç B)È(A Ç C)

Пусть U ={ a, b, c, d, e }.

A ={ a, b }, B ={ a, c, d }, C ={ b, c, d, e }. Тогда:

левая часть равенства

A Ç(B È C)={ a, b }Ç({ a, c, d }È{ b, c, d, e })={ a, b }Ç{ a, b, c, d, e }={ a, b };

правая часть равенства

(A Ç B)È(A Ç C)=({ a, b }Ç({ a, c, d })È({ a, b }Ç{ b, c, d, e })={ a }È{ b }={ a, b }.

Таким образом, левая и правая части соотношения совпадают, т.е. равенство подтверждено.

Построим теперь диаграммы Эйлера-Венна. Из аудентичности диаграмм очевидно равенство левой и правой частей иллюстрируемого соотношения на рис. 1.7.

Вопросы для самопроверки и упражнения:

1. Построить диаграммы Эйлера-Венна, иллюстрирующие множества а) – л) из упражнения 3 в параграфе 1.2.

2. Пусть A, B, C Í U. Проиллюстрировать на примере конкретных множеств и с помощью диаграмм Эйлера-Венна справедливость следующих соотношений:

а) A Ç(B Ç C)=(A Ç B)Ç C; д) A È(A Ç B)= A;

б) A È(B È C)=(A È B)È C; е) А Ç(A È B)= A;

в) = È ж) (A Ç B)È(А Ç = A;

г) = Ç з) A È Ç B)= A È B.