Распределения

Эксцесс характеризует относительную остроконечность или сглаженность распределения по сравнению с нормальным распределением. Положительный эксцесс обозначает относительно остроконечное распределение (рис. 19а). Отрицательный эксцесс обозначает относительно сглаженное распределение (рис. 19б).

а) б)

Рис. 19. Положительный (а) и отрицательный (б) эксцессы распределения.

Точечные оценки параметров распределения. Пусть случайный эксперимент описывается случайной величиной X. Повторяя случайный эксперимент n раз, получаем последовательность наблюденных значений { x ₁, x ₂,…, x_n } – выборку объема n из генеральной совокупности случайной величины Х.

Статистической оценкой параметра называется приближенное значение параметра, полученное на основе статистических (выборочных) данных , где – выборочная характеристика, вычисляемая по результатам наблюдений величины Х, используемая в качестве оценки -характеристики генеральной совокупности. В качестве могут быть параметры , параметр распределения и т. д.

По статистическим данным нельзя получить точную оценку неизвестного параметра , но можно найти приближенную оценку. Более того, каждая выборка объема n из генеральной совокупности дает свою оценку одного и того же неизвестного параметра , т. е. для можно получить бесконечное множество его оценок. Поэтому оценку можно считать случайной величиной, а ее значение , вычисленное по одной данной выборке, можно рассматривать как одно из ее возможных значений.

Различают точечные и интервальные оценки.

Точечная оценка параметра определяется одним числом . Качество оценки устанавливается по приведенным ниже трем свойствам.

Несмещенность. Оценка неизвестного параметра генеральной совокупности называется несмещенной, если для фиксированного числа наблюдений выполняется равенство .

Состоятельность. Оценка , найденная по выборке объема , называется состоятельной, если для любого выполняется равенство , которое означает, что при увеличении объема выборки значение сходится по вероятности к неизвестному параметру .

Эффективность. Несмещенная оценка неизвестного параметра называется эффективной, если среди всех подобных оценок того же параметра она имеет наименьшую дисперсию: .

Оценкой математического ожидания случайной величины Х является ее выборочная средняя: . Она является несмещенной, состоятельной и эффективной.

Выборочная дисперсия является смещенной оценкой для дисперсии случайной величины X.

Тест 7.13. Точечная оценка, математическое ожидание которой не равно оцениваемому параметру, называется:

1) смещенной;

2) несмещенной;

3) эффективной;

4) неэффективной;

5) состоятельной.

Тест 7.14. Выборочная средняя является:

1) интервальной оценкой генеральной средней;

2) точечной оценкой генеральной дисперсии;

3) генеральной средней;

4) точечной оценкой генеральной средней;

5) интервальной оценкой генеральной дисперсии.

Тест 7.15. Выборочная дисперсия является:

1) интервальной оценкой генеральной средней;

2) точечной оценкой генеральной дисперсии;

3) генеральной средней;

4) точечной оценкой генеральной средней;

5) интервальной оценкой генеральной дисперсии.

Тест 7.16. Выборочное среднее квадратическое отклонение является:

1) интервальной оценкой генеральной средней;

2) точечной оценкой генеральной дисперсии;

3) генеральной средней;

4) точечной оценкой генеральной средней;

5) точечной оценкой генерального среднего квадратического отклонения.

Тест 7.17. Точечной оценкой не является:

1) выборочная средняя;

2) выборочная дисперсия;

3) выборочное среднее квадратическое отклонение;

4) доверительный интервал.

Величина является несмещенной, эффективной и состоятельной оценкой дисперсии случайной величины X и называется несмещенной выборочной дисперсией, а смещенная дисперсия – генеральной дисперсией, или дисперсией генеральной совокупности.

Величина называется стандартным отклонением.

Пример 7.3. Выборочная дисперсия равна 2,7 при объеме выборки . Как оценить генеральную дисперсию?

Решение

Оценкой генеральной дисперсии является исправленная выборочная дисперсия .

Тест 7.18. Точечной оценкой генеральной дисперсии является:

1) исправленная выборочная дисперсия;

2) выборочная дисперсия;

3) выборочное среднее квадратическое отклонение;

4) доверительный интервал.

Тест 7.19. Выборочная дисперсия равна 2,5 при объеме выборки n = 26, тогда исправленная выборочная дисперсия равна:

1) ;

2) ;

3) .

Стандартная ошибка выборки определяется по формуле .