![]() |
Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | |
|
Предварительно ознакомьтесь со следующими вопросами по теме «Кривые второго порядка»
1. Что называется кривой второго порядка?
2. Канонические уравнения кривых второго порядка. Графики этих кривых:
а) окружность:
б) эллипс: ;
в) гипербола: ;
г) парабола: (с осью симметрии Оу),
(с осью симметрии Ох).
З. Параллельный перенос системы координат. Приведение уравнения второго порядка к каноническому виду.
Указанные виды кривых исчерпывают все виды кривых второго порядка (исключая случаи вырождения).
В результате решения задачи вы должны получить одну из названных кривых и построить ее в прямоугольной системе координат.
Задача. Составить уравнение линии, для каждой точки которой отношение расстояний до точки F(5;0) и до прямой равно
.
Решение. Построим в системе координат точку F(5;0) и вертикальную прямую Х=1(рис.2).
Рис.2.
Пусть М (х,у) - произвольная (текущая) точка искомой линии.
На рис. 2 изображены расстояния от этой точки до заданной точки F, то есть MF, и до заданной прямой: х=1, то есть MN. Обратите внимание, что MN - перпендикуляр к заданной прямой и поэтому точка N имеет (как и точка М) ординату, равную у: N(1;у).
По условию задачи
Выразим длины отрезков MF и MN через координаты их концов по формуле расстояния между точками:
;
Тогда по условию
Это и есть уравнение искомой линии. Упростим его, возведя в квадрат обе части уравнения и сделав другие преобразования: ;
;
;
Разделим обе части уравнения на 20:
Это каноническое уравнение гиперболы. Из него видно, что действительная полуось гиперболы 2,25, мнимая полуось
.
Центр симметрии гиперболы находится в начале координат. Для построения гиперболы отложим на осях координат в обе стороны от начала координат полуоси гиперболы и
.
Через полученные точки «-а» и «а» на оси Ох и точки «-b» и «b» на оси Оу построим вспомогательный прямоугольник (рис. 3). Проведем диагонали этого прямоугольника, которые являются асимптотами гиперболы: к ним будут неограниченно приближаться ветви гиперболы, Построим кривую, как указано на рис. 3. Задача решена.
Рис. 3
Замечание. Если бы в этой задаче после преобразований вы получили уравнение
, то оно определяет эллипс, порядок построения которого ясен из рис.4.
Рис.4
Замечание. Если в задаче вашего варианта после преобразований в уравнении наряду с членами и
присутствуют члены, содержащие первые степени
или
, то следует выделить полный квадрат (соответственно по
или по
).
Например, в уравнении выделим полный квадрат по
, для чего прибавим и отнимем половину коэффициента при
, возведенную в квадрат:
Обозначим
;
, тогда
или
- это каноническое уравнение параболы.
Построим новые оси и
, которые смещены относительно старых осей
и
так, что новое начало координат будет находиться в точке
, где и расположена вершина параболы. Ось симметрии параболы
, ветви ее направлены вверх, так как коэффициент при
положительный.
Полезно найти точки пересечения параболы со старыми осями координат
и
.
При получим
, откуда
, таким образом, парабола проходит через точку
- в старой системе координат.
Рис.5
Дата публикования: 2015-03-26; Прочитано: 203 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!