Кинематика гармонических колебаний

Гармоническими называют колебания, в которых интересу­ющая нас величина х (например, линейное или угловое смеще­ние из положения равновесия) изменяется со временем t по за­кону

, (1)

где a, ω, φ— константы. График функции (1) изображен на рис. 1. Она хороша, разумеется, не только потому, что имеет довольно простой математический вид. Более существенно то обстоятельство, что реальные колебания во многих физи­ческих системах зачастую очень хорошо описываются этой функцией, т. е. близки к гармоническим колебаниям. Легко проверить, что функция (1) является периодической, т. е. для лю­бого момента времени t имеет место равенство x (t) = x (t+T), где Т назы­вается периодом колебаний:

. (2)

Величина ω, с^-1называется циклической (круговой) частотой. Положительная константа а – амплитуда колебания (это максимальное отклонение величины x от равновесного значения x = 0). Аргумент косинуса в (1)– угол φ, выра­женный в радианах, называется фазой колебания:

, (3)

а значение φ при t = 0, т. е. величину α, называют начальной фазой. Соот­ношение (3) — это линейная связь между фазой колебания φ и круговой частотой ω, из которой следует . Круговая частота – это производная фазы φ по времени. Число колебаний в секунду называют линейной частотой (иногда просто частотой). Единица линейной частоты – Гц (герц). Очевидно,

(4)

(колебанию 1 герц соответствует изменение фазы – угла поворота, рав­ное 2πвсекунду). Обратите внимание на различие наименований циклической и линейной частот.

Продифференцировав (1) по времени, найдем скорость и ускорение :

, (5)

, (6)

Из этих выражений видно, что скорость и ускорение также изменяются по гармоническому закону с амплитудами и соответственно. При этом скорость опережает смеще­ние х по фазе на , а ускорение – на , т. е. находится в про-тивофазе со смещением х. На рис. 1 приведены графики зави­симостей , и для случая α = 0.

Сопоставив (6) и (1), видим, что , или

. (7)

Это дифференциальное уравнение называют уравнением гармонического осциллятора. Его решение (1) со­держит две произвольные постоянные: а и α. Для каждого конкретного коле­бания они определяются начальными условиями — смещением х ₀и скоро­стью в начальный момент t = 0:

, . (8)

Отсюда находим искомые постоянные:

, . (9)

Обычно рассматривают только значения α в интервале . Уравнение для удовлетворяется двумя значениями α в этом интервале. Из этих значений следует взять то, при ко­тором получаются правильные знаки у и в (8).