Полный дифференциал. Производные высших порядков

Пусть функция z=f(x;y) определена в некоторой окрестности точки M(x,y). Составим полное приращение функции в точке М: . Функция x=f(x,y) называется дифференцируемой в точке M(x,y), если ее полное приращение в этой точке можно представить в виде: , где и при , . Сумма первых двух слагаемых в равенстве представляет собой главную часть приращения функции. Главная часть приращение функции z=f(x;y), линейная относительно и , называется полным дифференциалом этой функции и обозначается символом dz: dz= A* +B* . Выражения A* и B* называют частными дифференциалами. Для независимых переменных x и y полагают =dx и =dy. Поэтому равенство можно переписать в виде: dz=A*dx+B*dy.

Полный дифференциал функции называют также дифференциалом первого порядка. Пусть функция z=f(x,y) имеет непрерывные частные производные второго порядка. Дифференциал второго порядка определяется по формуле .Найдем его: .

Отсюда:

. Символически это записывается так: . Аналогично можно получить формулу для дифференциала третьего порядка: . Получается, что: