![]() |
Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | |
|
Для функции двух переменных вводится понятие предела функции непрерывности, аналогично случаю функции одной переменной. Введем понятие окрестности точки. Множество всех точек М(x,y) плоскости, координаты которых удовлетворяют неравенству , называется
-окрестностью точки
. Другими словами,
-окрестность точки
- это все внутренние точки круга с центром
и радиусом
. Пусть функция z=f(x,y) определена в некоторой окрестности точки
, кроме, быть может, самой это точки. Число А называется пределом функции z=f(x,y) при
и
, если для любого
существует
такое, что для всех
и
и удовлетворяющих неравенству
выполняется неравенство
. Записывают:
или
.Из определения следует, что если предел существует, то он не зависит от пути, по которому М стремится к
(число таких направлений бесконечно). Геометрический смысл предела функции: каково бы ни было число
, найдется
-окрестность точки
, что во всех ее точках
, отличных от
, аппликаты соответствующих точек поверхности z=f(x,y) отличаются от числа А по модулю меньше, чем на
. Непрерывность функции двух переменных. Функция z=f(x,y)(или f(M)) называется непрерывной в точке
, если она: а)определена в этой точке и некоторой ее окрестности; б)имеет предел
; в)этот предел равен значению функции z в точке
, т.е.
или
. Функция, непрерывная в каждой точке некоторой области, называется непрерывной в этой области. Точки, в которых непрерывность нарушается, называются точками разрыва этой функции. Точки разрыва z=f(x,y) могут образовывать целые линии разрыва. Так, функция
имеет линию разрыва y=x. Функция z=f(x,y) называется непрерывной в точке
, если выполняется равенство
, т.е. полное приращение функции в этой точке стремится к нулю, когда приращения ее аргументов x и y стремятся к нулю.
Частные производные нескольких переменных. Пусть задана функция z=f(x,y). Т.к. x и y – независимые переменные, то одна из них может изменяться, а другая сохранять свое значение. Дадим независимой переменной x приращение , сохраняя значение y неизменным. Тогда z получит приращение, которое называется частным приращением z по x и обозначается
. Итак,
. Аналогично получаем частное приращение z по y:
. Полное приращение
функции z определяется равенством
. Если существует предел
, то он называется частной производной функции z=f(x,y) в точке M(x,y) по переменной x и обозначается
. Частные производные по x в точке
обычно обозначают символами
.
Дата публикования: 2015-03-26; Прочитано: 566 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!