Метод множителей Лагранжа. Дана задача нелинейного программирования

Дана задача нелинейного программирования

при ограничениях:

Предположим, что функции и непрерывны вместе со своими частными производными.

Для решения задачи составляется функция Лагранжа

где - множители Лагранжа.

Затем определяются частные производные:

Приравняв к нулю частные производные, получим систему

Решая систему, получим множество точек, в которых целевая функция L может иметь экстремальные значения. Условия рассмотренной системы являются необходимыми, но недостаточными. Поэтому не всякое полученное решение определяет точку экстремума целевой функции. Применение метода бывает оправданным, когда заранее предполагается существование глобального экстремума, совпадающего с единственным условным экстремумом целевой функции.

Пример 8. Найти точку условного экстремума целевой функции

При ограничениях:

Решение. Составим функцию Лагранжа

Найдя частные производные и приравняв их к нулю, решим систему

Откуда

Определим характер экстремума, изменяя значения переменных. Изменённые значения должны удовлетворять заданной системе ограничений. Возьмём , например , тогда из системы ограничений получим Возьмём , например , тогда получим Следовательно, - минимальное значение функции.

Ответ. Точка экстремума , при этом минимальное значение функции .

Расчёт экономико-математической модели при

нелинейных реализациях продукции

Пример 9. Мукомольный комбинат реализует муку двумя способами: в розницу через магазин и оптом через торговых агентов. При продаже кг муки через магазин расходы на реализацию составляют ден. ед., а при продаже кг муки посредством торговых агентов - ден. ед.

Определить, сколько килограммов муки следует продавать каждым способом, чтобы затраты на реализацию были минимальными, если в сутки выделяется для продажи 5000 кг муки.