Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | ||
|
Вид аннуитета
Постнумерандо
Немедленный пожизненный
я =
х+1 |
К
Л
(16.17)
AL |
Отложенный на п лет пожизненный
Немедленный, ограниченный (выплаты в течение t лет)
Отложенный на п лет, ограниченный (выплаты в течение t лет)
л—"S^ <1619>
(16 • ( |
^с+1 ^c+f+1
а*-<\ л
"х+п+ 1 -"х+и+М
Tfx-A
Для ежемесячных платежей постнумерандо имеем следующие выражения.
Немедленный пожизненный аннуитет:
(16.25) |
N™ Nx 11
Dx Dx 24
Немедленный ограниченный аннуитет:
(16.26) |
,m JV<'2>- tf<12> ^ - *,♦, - ^(Dx - DXH)
Dx Dx
Отложенный пожизненный аннуитет:
й(12>---------- х±»----------------- 24-------- (16 27)
я|* Dx Dx
Отложенный ограниченный аннуитет:
уу(12) _ дг(12)
д'12' ш х + п X + W+/ ш
п\ х:<] л
"х
™х+п ~ ™х+я+/ "~ ^Т ["х+п ~ Vx+n+t)
(16.28)
ПРИМЕР 16.7. Для условий примера 16.6, но с ежемесячными выплатами, получим:
Ш* 30:51" П
10465,3 - 5826,7 -;$j(l 124,8 - 673'1)
------------------------ —24^--------------------- L. 0,60484.
731Q3
Для ежемесячных выплат постнумерандо находим следующие соотношения.
Немедленный пожизненный аннуитет:
д(.2> *С **+,, И
Dx Dx 24
Немедленный ограниченный аннуитет:
в(12) ш jc-»I _____ Х+/+1 ш
х-А D
(16.29)
(16.30)
24_ |
^х+1 - ^x*t*\ + ^т(^*+1 - At+/+l)
Отложенный на п лет пожизненный аннуитет:
,т лг<12>, лгх+#+|+-1дг+.+1
-(12) ш «♦,♦!---------------- 24--------. (16.31)
Отложенный ограниченный (выплаты в течение t лет) аннуитет:
„и» „и»
п\ х:(] п
°* (16.32)
^х+л+1 " Nx+n+t+\ + Тт(Ас+/ц.1 " Ar+fl+/ + l)
Современные стоимости регулярных потоков платежей (обозначим их, как это принято в финансовой математике, через Ах) определяются элементарно. Если размер годового платежа равен Л, то для немедленного пожизненного потока годовых платежей пренумерандо имеем Ах = R х ах> а для аналогичного, но отложенного на п лет аннуитета, Лх = Rx Jlxvl т.д.
ПРИМЕР 16.8. Рассчитаем актуарные стоимости нескольких вариантов аннуитетов для сорокалетнего мужчины. Платежи ежегодные и ежемесячные, выплаты — пожизненные и ограниченнные (срок — 10 лет), немедленные и отложенные на 5 лет. Сумма годового платежа 1000 руб. Полученные величины приведены в табл. 16.4.
Таблица 16.4
Вид | Постнумерандо | Пренумерандо | |||
потока | годовые | ежемесячн. | годовые | ежемесячн. | |
Немедл. Отложен. | Пожизнен. Огранич. Пожизнен. Огранич. | 9334 6156 5529 3776 | 9792 6415 5788 3941 | 10 334 6773 6153 4171 | 9875 6490 5867 3990 |
Выделим четыре фактора, определяющих стоимость страхового аннуитета:
— демографический фактор, отражаемый таблицей смертности,
— процентная ставка (установленная норма доходности),
— длительность отсрочки выплат,
— срок аннуитета.
Кратко остановимся на указанных факторах. Ясно, что чем выше показатели смертности, тем ниже актуарная стоимость аннуитета. Отсюда следует, что при сложившейся в России демографической ситуации стоимость аннуитета для женщины будет заметно выше, чем для мужчины при всех прочих равных условиях. В табл. 16.5 приведены стоимости годовых немедленных аннуитетов пренумерандо у мужчин и женщин для двух вариантов процентной ставки — 9 и 5 %.
Таблица 16.5 Стоимости немедленных аннуитетов
1 = | 9% | i = | 5% | |
Возраст | Мужчины | Женщины | Мужчины | Женшивы |
11,54 | 11,87 | 18,20 | 19,33 | |
11,04 | 11,61 | 16,65 | 18,22 | |
10,33 | 11,17 | 14,86 | 16,80 | |
9,30 | 10,41 | 12,65 | 14,50 | |
7,92 | 9,17 | 10,11 | 12,16 | |
6,25 | 7,22 | 7,44 | 8,16 |
Как видим, с увеличением возраста стоимость аннуитета уменьшается (так как сокращается средняя продолжительность предстоящей жизни), причем у всех возрастов стоимость аннуитета для женщин выше, чем для мужчин.
Влияние процентной ставки очевидно — повышение процентной ставки уменьшает стоимость аннуитета (см. рис. 16.1 и
табл. 16.5). Отсрочка выплат также сокращает эту величину. В свою очередь увеличение срока аннуитета при всех прочих равных условиях увеличивает стоимость аннуитета. Пределом, естественно, является стоимость пожизненного аннуитета (см. рис. 16.2).
л|»х
О) - П
Рис 16.1
Рис 16.2
В следующей главе показано, как стоимости страховых аннуитетов используются при решении сугубо практических задач — расчетах нетто-премий и страховых резервов в таких видах личного страхования, как страхование на дожитие, страхование жизни и индивидуальное страхование пенсий.
ДОПОЛНИТЕЛЬНАЯ ЛИТЕРАТУРА
1. Гербер X. Математика страхования жизни. М.: АН К ИЛ, 1995.
2. Касимов Ю. Ф. Начала актуарной математики (для страхования жизни и пенсионных схем). Зеленоград, 1995.
3. Четыркин Е. М. Актуарные методы в негосударственном медицинском страховании. М.: Дело, 1999. Гл. 3.
Глава 17 ЛИЧНОЕ СТРАХОВАНИЕ
Дата публикования: 2015-03-26; Прочитано: 391 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!